“이 문제만 나오면 틀리는 학생들이 많아요!” 과외를 하면서 일차함수 문제에서 반복적으로 실수하는 학생들을 많이 봤습니다. 특히, 기울기와 y절편을 혼동하거나, 식을 세우기 전에 필요한 단계를 생략하는 경우가 많았어요. 그래서 오늘은 중학생이 어려워하는 일차함수 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
일차함수 문제 풀이 및 오답 노트
일차함수 문제를 풀기전에 혹시라도 개념이 기억나지 않으신다면 이론 공부 살짝 하고 올까요??
일차함수란? 정의와 그래프 그리기, 기울기와 y절편 총정리
일차함수(Linear Function)는 변수에 대한 1차식을 이용해 표현된 함수로, 그래프가 직선의 형태를 가집니다. 일차함수는 기울기와 y절편으로 정의되며, 다양한 수학 문제의 기본이 됩니다. 일차함수
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잘 읽고 오셨나요??
그럼 여러분들이 가장 많이 틀리는 문제. 쉽게 풀어봅시다. 출발~
문제 1: 실생활 응용형 - 달리기 기록 분석
📌 문제
“민주는 100m 달리기 연습을 합니다. 처음 5초 동안 20m를 달렸고, 이후 초당 4m씩 속도를 높입니다. t초 후 이동 거리 d(t)를 일차함수로 표현하고, 15초 후 이동 거리를 구하시오.”
풀이
① 초기 조건 정리
먼저 문제를 읽고 주어진 정보를 정리하는 것이 중요합니다.
• 0초~5초까지는 20m를 유지(가속 없음).
• 5초 이후부터는 초당 4m씩 이동(가속 시작).
• 즉, 5초 이후의 이동 거리 d(t) 는 일차함수의 형태로 표현할 수 있음.
② 함수식 세우기
이동 거리 d(t) 를 함수로 표현하려면, 시간에 따른 이동 거리의 증가량(기울기)을 찾아야 합니다.
• t > 5 초에서 거리는 초당 4m 증가하므로 기울기 m = 4
• 5초까지는 이미 20m 이동했으므로 y절편 b = 20
따라서 함수식은
$d(t) = 20 + 4(t-5) = 4t$
(단, $t \geq 5$ )
③ 15초 후 이동 거리 계산
t = 15 를 함수식에 대입하면,
$d(15) = 4 \times 15 = 60m$
정답
15초 후 이동 거리는 60m입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 구간 구분을 무시 → t = 0 에서 바로 함수식을 적용하면 오답!
2. 단위 혼동 → 초당 속도(4m/s)와 이동 거리(m)를 혼동하면 안 됨.
문제 2: 그래프 해석형 - 두 직선의 교점
📌 문제
“다음 두 직선의 교점 좌표를 구하시오.”
• 직선 A: y = 2x + 1
• 직선 B: x절편 3, y절편 -2
풀이
① 직선 B의 방정식 구하기
직선의 식을 구하려면 기울기부터 계산해야 합니다.
• x절편(3,0)과 y절편(0,-2)가 주어짐.
• 기울기 공식:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-2)}{3 - 0} = \frac{2}{3}$
• y 절편이 -2이므로 직선의 방정식은
$y = \frac{2}{3}x - 2$
② 연립방정식 풀이
두 직선의 교점을 구하려면 방정식을 연립해야 합니다.
$2x + 1 = \frac{2}{3}x - 2$
양변에 3을 곱해서 분수를 없애면:
$6x + 3 = 2x - 6$
$4x = -9$
$x = -\frac{9}{4}$
y 좌표 구하기:
$y = 2(-\frac{9}{4}) + 1 = -\frac{18}{4} + 1 = -\frac{7}{2}$
정답
$\mathbf{(-\frac{9}{4}, -\frac{7}{2})}$
★ [오답 포인트] ★
1. 기울기 계산 오류 → x절편과 y절편을 반대로 대입하는 실수 주의!
2. 부호 실수 → 특히 -2를 2로 착각하는 경우가 많음.
문제 3: 역함수 추론형 - 암호 해독
📌 문제
“암호문 ‘D’는 원문 ‘A’를 일차함수 $f(x) = ax + b$ 로 변환한 것입니다. $f(1) = 4 , f^{-1}(7) = 2$ 일 때, 원문 ‘D’에 해당하는 숫자를 구하시오.”
풀이
① 주어진 정보로 함수식 유추
$f(1) = 4$ 이므로,
$a(1) + b = 4 \quad \Rightarrow \quad a + b = 4$
역함수 정보 $f^{-1}(7) = 2$ 는
$f(2) = 7$
을 의미하므로,
$2a + b = 7$
② 연립방정식 풀이
$a + b = 4$
$2a + b = 7$
두 식을 빼주면:
$(2a + b) - (a + b) = 7 - 4$
$a = 3$
이를 첫 번째 식에 대입하면:
$3 + b = 4$
$b = 1$
따라서 함수식은
$f(x) = 3x + 1$
③ 암호 해독
$‘A’ = 1$이므로,
$f(1) = 3(1) + 1 = 4$
즉, 암호 ‘D’는 4!
정답
$\mathbf{4}$
★ [오답 포인트] ★
1. 역함수 개념 혼동 → f^{-1}(y) = x 를 f(x) = y 로 바꿔야 함.
2. 알파벳과 숫자 연결 오류 → A=1, B=2… D=4라는 관계를 놓치는 경우.
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
문제를 틀렸다면 그냥 넘어가지 말고 오답 유형을 정리해보세요.
예시:
• 유형 ①: 구간별 함수 적용 실패
• 유형 ②: 그래프 ↔ 식 변환 미숙
• 유형 ③: 역함수 개념 이해 부족
| 일차함수 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다. | |
| 1. 조건 분해 | 문제를 단계별로 분석 |
| 2. 단위 확인 | 숫자의 의미를 명확히 인식 |
| 3. 역연산 검토 | 풀이가 맞는지 역으로 점검 |
이제 일차함수 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
