함수는 항상 어렵다고 하는 학생들이 많습니다. 앞서 보았던 일차함수와 마찬가지로 이차함수 문제에서도 자주 실수하는 모습을 많이 봤습니다. 특히, 이차함수의 그래프 형태를 잘못 이해하거나, 꼭짓점을 구할 때 실수하는 경우가 많았어요. 그래서 오늘은 중학생이 어려워하는 이차함수 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
이차함수 문제 풀이 및 오답 노트
이차함수 개념 정리가 필요하다면 잠시 공부하고 오셔도 됩니다.
이차함수란? 정의와 그래프 그리기, 정점과 대칭축 구하기 총정리
이차함수(Quadratic Function)는 변수의 최고차가 2인 함수로, 포물선 형태의 그래프를 나타냅니다. 이차함수는 정점, 축, 개형 등 다양한 성질을 가지고 있어, 물리학, 경제학, 공학 등의 분야에서 중
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개념 정리는 확실하게 되셨나요? 그럼 문제 풀이를 본격적으로 해볼까요?
문제 1: 실생활 응용형 - 공의 높이 변화
📌 문제
“한 농구 선수가 공을 던졌습니다. 공의 높이는 시간 t (초)에 대해 다음과 같이 주어집니다.
h(t)=−5t2+20t+2
이때,
1. 공이 최고 높이에 도달하는 시간은 몇 초 후인가?
2. 공의 최고 높이는 얼마인가?”
풀이
① 최고점(꼭짓점)의 x좌표 구하기
이차함수의 최고점(또는 최저점)은 꼭짓점 공식을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다.
꼭짓점의 x좌표는
t=−b2a
입니다.
이제 함수식의 계수를 확인해 봅시다.
• a=−5
• b=20
공식에 대입하면,
t=−202(−5)=2010=2
즉, 공이 최고 높이에 도달하는 시간은 2초 후입니다.
② 최고 높이 구하기
구한 값을 식에 대입하여 최고 높이를 구해 봅시다.
h(2)=−5(2)2+20(2)+2
= −5(4)+40+2
= −20+40+2=22
따라서, 공의 최고 높이는 22m입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 꼭짓점 공식 실수 → -b2a 공식을 헷갈려서 -ba로 계산하는 경우
2. 음수 부호 실수 → 이차항의 계수 a 가 음수일 경우 실수할 가능성이 높음
문제 2: 그래프 해석형 - 포물선과 직선의 교점
📌 문제
“이차함수 y=x2−4x+3 과 직선 y=x+1 의 교점을 구하시오.”
풀이
① 연립방정식 세우기
교점을 구하려면 두 함수식을 연립해야 합니다.
x2−4x+3=x+1
모든 항을 좌변으로 이동하면,
x2−4x+3−x−1=0
x2−5x+2=0
② 이차방정식 풀이
이차방정식을 인수분해해 봅시다.
x2−5x+2=0
여기서 인수분해가 어려우므로 근의 공식을 사용해야 합니다.
x=−(−5)±√(−5)2−4(1)(2)2(1)
= 5±√25−82
= 5±√172
③ y값 구하기
구한 x 값을 직선의 방정식 y=x+1 에 대입하면,
y=5±√172+1
= 7±√172
따라서 두 교점의 좌표는
(5+√172,7+√172),(5−√172,7−√172) 입니다.
③ y값 구하기
구한 x 값을 직선의 방정식 y=x+1 에 대입하면,
y=5±√172+1
= 7±√172
따라서 두 교점의 좌표는
(5+√172,7+√172),(5−√172,7−√172) 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 이차방정식 인수분해 시도 오류 → 인수분해가 되지 않으면 근의 공식을 활용해야 함
2. 근의 공식 계산 실수 → 루트 안의 숫자 계산 시 실수하는 경우
문제 3: 역함수 추론형 - 암호 해독
📌 문제
“어떤 암호화 시스템에서 원래 값 x 를 이차함수 f(x)=ax2+bx+c 로 변환하여 암호문을 만들었습니다."
다음 조건을 만족하는 함수 f(x) 를 구하고, 암호문 ‘D’에 해당하는 숫자를 찾으시오.
• f(1)=3
• f(2)=6
• f(3)=11
풀이
① 연립방정식 세우기
주어진 조건을 이용해 세 개의 방정식을 만듭니다.
a(1)2+b(1)+c=3
a(2)2+b(2)+c=6
a(3)2+b(3)+c=11
이를 정리하면,
a+b+c=3
4a+2b+c=6
9a+3b+c=11
② 연립방정식 풀이
첫 번째와 두 번째 식을 빼면,
(4a+2b+c)−(a+b+c)=6−3
3a+b=3
두 번째와 세 번째 식을 빼면,
(9a+3b+c)−(4a+2b+c)=11−6
5a+b=5
두 개의 새로운 식을 정리하면,
3a+b=3
5a+b=5
이를 다시 빼면,
(5a+b)−(3a+b)=5−3
2a=2⇒a=1
이를 첫 번째 식에 대입하면,
3(1)+b=3
b=0
c=2
따라서,
f(x)=x2+2
이제 암호문 ‘D’에 해당하는 숫자를 구할 차례입니다.
암호문 ‘D’ = f(4) 이므로,
f(4)=42+2=16+2=18
정답
18
★ [오답 포인트] ★
1. 연립방정식 설정 오류
이차함수의 일반식 f(x)=ax2+bx+c 를 활용하여 문제를 풀어야 하는데,
연립방정식을 잘못 세우는 경우가 많습니다.
❌ 오답 예시:
• f(1)=3 이면 a(1)+b(1)+c=3 가 되어야 하는데, ax2+b=3 처럼 c 항을 생략하는 실수를 함.
• f(2)=6 을 4a+b=6 으로 작성하여 c 항을 누락하는 경우.
2. 연립방정식 계산 실수
연립방정식을 정확하게 풀지 않으면 오답이 나올 수 있습니다.
❌ 오답 예시:
• 3a+b=3 과 5a+b=5 를 빼는 과정에서 부호 실수를 하여 틀린 값을 도출함.
• 근의 공식을 사용해야 하는 경우, 제곱근 계산 실수 발생.
3. 암호 해독 과정에서 실수
문제를 풀 때 마지막 단계에서 암호문 ‘D’의 값을 구하는 과정에서 실수가 많이 발생합니다.
❌ 오답 예시:
• f(4) 를 구할 때, 42+2 대신 42−2 로 계산하는 실수.
• 암호 변환 과정에서 원래 숫자와 변환된 숫자를 헷갈려 f(3) 과 f(4) 를 혼동함.
"정답을 위한 핵심 체크리스트"
1. 연립방정식을 정확하게 세웠는가?
2. 연립방정식 풀 때 부호 실수를 하지 않았는가?
3. 최종 암호 해독 시, 함수식을 제대로 대입했는가?
이제 이차함수 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
