“원의 성질 문제, 공식은 아는데 왜 틀릴까요?” 수학에서 원은 기하학적으로 매우 중요한 개념입니다. 하지만 학생들이 원의 성질을 활용하는 문제를 풀 때 자주 실수하는 모습을 볼 수 있습니다. 특히, 접선의 성질, 원주각과 중심각의 관계, 원의 방정식과 접선의 방정식을 연계하는 문제에서 혼동하는 경우가 많습니다. 그래서 오늘은 학생들이 가장 많이 틀리는 원의 성질 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
원의 성질 문제 풀이와 오답 노트
문제를 풀기 전에
원의 성질에 대한 개념 정리를 한번 하고 올까요?
원의 성질과 특징: 반지름, 지름, 원주율 완벽 이해
원(Circle)은 평면 상의 한 점에서 일정한 거리에 있는 모든 점들의 집합으로 정의되는 기하학적 도형입니다. 원은 대칭성과 단순한 형태로 인해 수학의 다양한 분야에서 중요한 역할을 하며, 반
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잘 읽고 오셨나요?
이제 개념 정리는 되셨으니
본격적으로 문제 풀이로 고고싱~
문제 1: 원의 접선과 반지름의 관계
문제
“반지름이 6인 원 $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 36$ 이 있습니다. 점 P(9,8)에서 이 원에 그은 접선의 길이를 구하시오.”
풀이
① 접선의 길이 공식 활용하기
원의 외부 한 점에서 원에 접하는 접선의 길이는 다음 공식으로 구할 수 있습니다.
$L = \sqrt{d^2 - r^2}$
여기서,
• $d$ 는 점 $P$와 원의 중심 사이의 거리
• $r$은 원의 반지름
② 점 $P$와 원의 중심 사이의 거리 구하기
$d = \sqrt{(9 - 3)^2 + (8 - 2)^2}$
= $\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36}$
= $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
③ 접선의 길이 계산
$L = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - 6^2}$
= $\sqrt{72 - 36} = \sqrt{36} = 6$
즉, 접선의 길이는 6입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 접선 길이 공식 적용 실수 → 원점과 점 P의 거리에서 반지름을 빼야 함
2. 루트 값 계산 실수 → 루트 안의 값을 정확히 계산해야 함
문제 2: 원주각과 중심각의 관계
문제
“다음 그림에서 중심각 $\angle AOB$ 의 크기가 80°일 때, 원주각 $\angle ACB$ 의 크기를 구하시오.”
풀이
① 원주각과 중심각의 관계 활용하기
원의 성질 중 원주각의 크기는 같은 호에 대한 중심각의 절반이라는 공식이 있습니다.
$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$
② 값 대입하여 계산하기
$\angle ACB = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$
즉, 원주각 $\angle ACB$ 의 크기는 40°입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 원주각과 중심각의 관계를 혼동함 → 중심각의 절반이 원주각
2. 호를 기준으로 하지 않음 → 같은 호를 공유하는지 확인해야 함
문제 3: 원의 방정식과 접선의 방정식
문제
“원의 방정식이 $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ 일 때, 점 (7,5) 에서 이 원에 접하는 접선의 방정식을 구하시오.”
풀이
① 접선의 기울기 구하기
접선의 기울기는 원의 중심과 주어진 점을 연결하는 직선의 기울기와 수직입니다.
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
여기서,
• 원의 중심: (2,1)
• 주어진 점: (7,5)
$m = \frac{5 - 1}{7 - 2} = \frac{4}{5}$
접선은 중심과 연결된 선과 수직이므로 접선의 기울기는 $-\frac{5}{4}$입니다.
② 접선의 방정식 구하기
점 (7,5) 을 지나고 기울기가 $-\frac{5}{4}$ 인 직선의 방정식은 다음과 같습니다.
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 5 = -\frac{5}{4}(x - 7)$
정리하면,
$y = -\frac{5}{4}x + \frac{35}{4} + 5$
$y = -\frac{5}{4}x + \frac{55}{4}$
즉, 접선의 방정식은 $y = -\frac{5}{4}x + \frac{55}{4}$ 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 접선의 기울기와 중심을 연결하는 직선의 기울기를 혼동함
2. 점 기울기 공식을 잘못 적용함
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
예시:
• 유형 ①: 원의 접선 길이 계산 오류
• 유형 ②: 원주각과 중심각의 관계 헷갈림
• 유형 ③: 원의 방정식과 접선의 관계 이해 부족
| 원의 성질 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다. |
| 1. 문제에서 주어진 원의 정보 정리 |
| 2. 알맞은 공식 적용 후 변형 과정 점검 |
| 3. 계산 후 검산하여 실수 방지하기 |
이제 원의 성질 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
