“각도와 길이를 구하는 문제만 보면 막막한가요?” 삼각비 문제에서 자주 실수하는 부분은 무엇인지 알아보려고 합니다. 특히, 사인, 코사인, 탄젠트의 개념을 헷갈려 하거나, 삼각비 공식을 제대로 적용하지 못하는 경우, 문제의 조건을 이해하지 못하는 경우가 많았어요. 그래서 오늘은 대부분 어려워하는 삼각비 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
삼각비 문제풀이와 오답노트
삼각비 개념을 알고 싶으시면 아래 글을 참조해주세요.
삼각비란? 사인, 코사인, 탄젠트 정의와 활용법 총정리
삼각비(Trigonometric Ratios)는 직각삼각형에서 각도와 변의 길이 사이의 비율을 의미하며, 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan) 등의 용어로 나타냅니다. 삼각비는 기하학, 물리학, 공학 등에서 길이와
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잘 읽고 오셨나요?
그러면 본격적으로 시작해보겠습니다.
문제 1: 직각삼각형에서 변의 길이 구하기
문제
“한 빌딩에 사다리를 세웠을 때, 바닥과 이루는 각이 30°이고, 사다리의 길이가 10m라면 벽까지의 거리(바닥의 길이)를 구하시오.”
풀이
① 삼각비 선택하기
이 문제에서 주어진 값과 구하려는 값을 비교해 보면,
• 빗변(사다리 길이, 10m)
• 밑변(벽까지 거리, 구해야 할 값)
• 주어진 각도(30°)
코사인 공식을 사용해야 합니다.
$\cos \theta = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$
따라서,
$\cos 30^\circ = \frac{x}{10}$
② 값 대입하여 계산하기
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{10}$
양변에 10을 곱하면
$x = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$
즉, 벽까지의 거리는 약 8.66m입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 사인과 코사인을 혼동함 → 코사인은 밑변/빗변, 사인은 높이/빗변
2. 공식 적용 후 변형을 잘못함 → 양변에 10을 곱해야 함
문제 2: 건물의 높이 구하기
문제
“어느 빌딩의 꼭대기를 바라볼 때, 시야각이 45°이고, 빌딩에서 20m 떨어져 있을 때 빌딩의 높이를 구하시오.”
풀이
① 삼각비 선택하기
• 주어진 값: 밑변(건물과 거리, 20m)
• 구해야 하는 값: 높이
• 주어진 각도: 45°
이때는 탄젠트 공식을 사용합니다.
$\tan \theta = \frac{\text{높이}}{\text{밑변}}$
따라서,
$\tan 45^\circ = \frac{h}{20}$
② 값 대입하여 계산하기
$1 = \frac{h}{20}$
양변에 20을 곱하면
$h = 20$
즉, 빌딩의 높이는 20m입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 탄젠트 대신 코사인을 잘못 사용 → 탄젠트는 높이/밑변
2. 각도를 잘못 이해함 → 시야각이 수평과 이루는 각인지 확인
문제 3: 그림자가 주어진 문제
문제
“높이가 5m인 가로등이 있고, 가로등에서 8m 떨어진 곳에 사람이 서 있습니다. 사람의 그림자 길이가 4m라면, 사람의 키는 몇 m일까요?”
풀이
① 삼각형 설정하기
• 큰 삼각형: 가로등이 만드는 삼각형
• 작은 삼각형: 사람이 만드는 삼각형
두 삼각형은 닮음 관계이므로 비례식을 세울 수 있습니다.
$\frac{\text{가로등 높이}}{\text{그림자 길이}} = \frac{\text{사람 키}}{\text{사람 그림자 길이}}$
② 비례식 적용하기
$\frac{5}{8} = \frac{h}{4}$
양변에 4를 곱하면
$h = \frac{5}{8} \times 4 = 2.5$
즉, 사람의 키는 2.5m입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 비례식을 반대로 씀 → 가로등 높이를 사람 키로 나누는 실수
2. 닮음 관계를 이해하지 못함 → 삼각형이 동일한 각을 가지고 있음을 놓침
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
예시:
• 유형 ①: 삼각비 선택 오류 (사인, 코사인, 탄젠트 헷갈림)
• 유형 ②: 비례식 설정 오류
• 유형 ③: 삼각형 관계 이해 부족
| 삼각비 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다. |
| 1. 주어진 값과 구해야 할 값 파악 |
| 2. 알맞은 삼각비 공식 선택 |
| 3. 공식 적용 후 변형과 검산 확인 |
이제 삼각비 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
