“등비수열, 공식은 아는데 왜 문제만 풀면 틀릴까요?” 등비수열은 연속하는 항의 비가 일정한 수열을 의미하며, 수능과 내신에서 일반항 구하기, 합 구하기, 특정 항 찾기 등의 문제로 자주 출제됩니다. 하지만 문제를 풀 때 공비 적용 오류, 항의 개수 착각, 부호 실수 등을 많이 합니다. 가장 많이 틀리는 등비수열 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
등비수열 문제풀이와 오답 포인트
등비수열 개념 정리가 필요하신분은 참고하세요~
등비수열이란? 정의, 일반항 공식, 합 계산법 완벽 정리
등비수열(Geometric Sequence)은 각 항이 일정한 비율로 증가하거나 감소하는 수열입니다. 이는 등차수열과 달리 곱셈과 나눗셈을 기반으로 하며, 수학, 금융, 자연 현상 분석 등 다양한 분야에서 사
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개념 정리가 되셨나요?
본격적으로 문제 풀이로 고고싱~
문제 1: 등비수열의 일반항 구하기
문제
“첫째항이 2이고 공비가 3인 등비수열의 7번째 항을 구하시오.”
풀이
① 등비수열의 일반항 공식 적용
등비수열의 일반항 공식은 다음과 같습니다.
$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$
여기서,
• $a_1 = 2$ (첫째항)
• $r = 3$ (공비)
• $n = 7$ (구하려는 항)
② 값 대입 후 계산
$a_7 = 2 \cdot 3^{(7-1)}$
= $2 \cdot 3^6$
= $2 \cdot 729 = 1458$
따라서 7번째 항은 1458 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. $n-1$ 대신 $n$ 을 사용하여 $a_n = a_1 \cdot r^n$ 로 계산하는 실수
2. 공비가 음수일 때 부호 실수
문제 2: 등비수열의 합 구하기
문제
“첫째항이 5이고 공비가 2인 등비수열에서 처음 6개 항의 합을 구하시오.”
풀이
① 등비수열의 합 공식 적용
등비수열의 합 공식은 다음과 같습니다.
$S_n = \frac{a_1 (1 - r^n)}{1 - r}, \quad (r \neq 1)$
여기서,
• $a_1 = 5$
• $r = 2$
• $n = 6$
② 값 대입 후 계산
$S_6 = \frac{5(1 - 2^6)}{1 - 2}$
= $\frac{5(1 - 64)}{-1}$
= $\frac{5(-63)}{-1}$
= 315
따라서 처음 6개 항의 합은 315 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 공비 $r$ 이 1일 때 일반 합 공식 사용 (이 경우 등차수열임을 인식해야 함)
2. 부호 실수로 음수로 계산하는 오류
문제 3: 특정 항 찾기 문제
문제
“등비수열 $3, 6, 12, \dots$풀이
① 등비수열 일반항 공식 적용
$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$
여기서,
• $a_1 = 3$
• $r = 2$
• $a_n = 192$
② 방정식 세우기
$192 = 3 \cdot 2^{(n-1)}$
③ n 계산
$\frac{192}{3} = 2^{(n-1)}$
$64 = 2^{(n-1)}$
64 는 $2^6$ 이므로,
$n-1 = 6$
$n = 7$
따라서 192는 등비수열의 7번째 항입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 지수 계산 실수로 로그를 사용하지 않고 직접 나누기를 반복하는 오류
2. 공비가 1보다 작거나 클 때 부등호 사용 실수
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
예시:
• 유형 ①: 일반항 공식에서 n-1 적용 오류
• 유형 ②: 등비수열 합 공식 사용 시 부호 실수
• 유형 ③: 특정 항이 존재하는지 검토하지 않음
| 등비수열 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다. |
| 1. 공식에 값 대입할 때 n-1 을 적용하는지 확인하기 |
| 2. 문제에서 요구하는 정보(첫째항, 공비, 항의 개수) 체크하기 |
| 3. 구한 값이 실제로 문제의 조건을 만족하는지 검토하기 |
이제 등비수열 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
