“정적분, 개념은 아는데 왜 문제만 풀면 틀릴까요?” 정적분은 미적분에서 넓이나 물리량을 계산하는 핵심 개념입니다. 특히, 정적분의 기본 원리, 정적분을 이용한 넓이 계산, 속도와 거리 문제가 자주 출제됩니다. 하지만 문제를 풀 때 적분 계산 실수, 상한과 하한 적용 오류, 부호 착각 등의 실수를 많이 합니다. 가장 많이 틀리는 정적분 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
정적분 문제 풀이와 오답 포인트
정적분에 대한 개념 정리가 필요하신가요?
정적분이란? 기초 개념부터 실생활 활용까지
정적분(Definite Integral)은 미적분학의 핵심 개념으로, 함수의 그래프 아래 면적이나 누적값을 계산하는 데 사용됩니다. 정적분은 미분과 반대의 연산이며, 실생활에서 물리적 양의 계산, 경제학적
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개념 정리가 되셨다면
본격적으로 문제 풀이로 고고싱~
문제 1: 기본적인 정적분 계산
문제
“다음 정적분을 계산하시오.”
∫41(3x2+2x)dx
풀이
① 함수 적분
∫(3x2+2x)dx
각 항을 따로 적분하면,
∫3x2dx=x3,∫2xdx=x2
따라서,
F(x)=x3+x2
② 정적분의 기본정리 적용
∫41(3x2+2x)dx=F(4)−F(1)
= (43+42)−(13+12)
= (64+16)−(1+1)
= 80−2 = 78
따라서 정답은 78 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 적분 과정에서 계수를 빠뜨리는 실수
2. 상한과 하한 대입 시 부호 실수
문제 2: 넓이 계산 문제
문제
“곡선 y=x2−4x+3 와 x축 사이의 넓이를 구하시오. (x=1 부터 x=3 까지)”
풀이
① 정적분 설정
∫31(x2−4x+3)dx
② 함수 적분
∫(x2−4x+3)dx
각 항을 적분하면,
x33−2x2+3x
따라서,
F(x)=x33−2x2+3x
③ 정적분의 기본정리 적용
F(3)−F(1)
= (333−2(32)+3(3))−(133−2(12)+3(1))
= (273−18+9)−(13−2+3)
= (9−18+9)−(13+1)
= 0−43=43
따라서 넓이는 43 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 부호 실수로 넓이가 음수로 나오는 경우
2. 하한과 상한을 거꾸로 적용하는 실수
문제 3: 속도와 거리 문제
문제
“어떤 물체의 속도가 v(t)=2t+1 (단위: m/s) 일 때, t=0 초부터 t=5 초까지 이동한 거리를 구하시오.”
풀이
① 이동 거리 = 속도의 정적분
이동 거리=∫50(2t+1)dt
② 함수 적분
∫(2t+1)dt
각 항을 적분하면,
∫2tdt=t2,∫1dt=t
따라서,
F(t)=t2+t
③ 정적분의 기본정리 적용
F(5)−F(0)
= (52+5)−(02+0)
= (25+5)−0
= 30
따라서 이동 거리는 30m 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 속도와 거리 개념을 혼동하여 평균 속도로 계산하는 실수
2. 적분 후 상한과 하한을 잘못 적용
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
예시:
• 유형 ①: 적분 과정에서 계수 실수
• 유형 ②: 넓이 계산 시 부호 실수
• 유형 ③: 속도와 거리 문제에서 정적분 적용 오류
| 정적분 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다. |
| 1. 정적분 개념을 정확히 이해하기 |
| 2. 기본 정리 적용 후 값 대입을 신중히 하기 |
| 3. 부호와 계산 실수 체크하기 |
이제 정적분 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
