“극한 개념은 알겠는데, 문제만 보면 헷갈린다면?” 함수의 극한은 미적분에서 가장 기본적인 개념이지만, 문제를 풀 때 대입 실수, 0으로 나누는 오류, 유리화 또는 분자·분모 분리 계산 실수 등을 많이 합니다. 가장 많이 틀리는 함수의 극한 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
함수의 극한 문제 풀이와 오답 포인트
함수의 극한 문제를 풀기 전에 개념 정리를 하고 오겠습니다.
함수의 극한이란? 기초 개념부터 문제 풀이, 실생활 활용 가이드
함수의 극한(Limit of a Function)은 함수가 특정 점에 가까워질 때, 함수값이 어떻게 변하는지를 분석하는 개념입니다. 극한은 미적분학의 기초를 이루며, 함수의 연속성과 미분 가능성을 판단하는
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개념 정리는 되셨나요?
본격적으로 문제풀이로 고고싱~
문제 1: 대입 가능한 극한 값 구하기
문제
$\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$를 구하시오.
풀이
① 직접 대입하기
극한값을 구할 때 함수식이 주어지면 가장 먼저 x에 값을 직접 대입합니다.
$2(3)^2 - 5(3) + 1$
= $2(9) - 15 + 1$
= $18 - 15 + 1 = 4$
따라서 정답은 4입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 불필요한 변형 후 계산 실수
2. 대입 시 음수 부호를 잘못 적용
문제 2: 0으로 나누는 꼴 (인수분해 활용)
문제
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$를 구하시오.
풀이
① 직접 대입 시 $0/0$ 형태 확인
$\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}$
$0/0$ 은 정의되지 않으므로, 변형이 필요합니다.
② 분자 인수분해 후 약분
$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$
$x - 2$ 를 약분하면
$\lim_{x \to 2} (x + 2)$
③ 값 대입 후 계산
$2 + 2 = 4$
따라서 정답은 4입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. $0/0$꼴에서 바로 답을 0이라고 적는 실수
2. 인수분해 없이 유리화나 다른 방식으로 변형하려다 계산 실수
문제 3: 유리화 활용 극한 문제
문제
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$를 구하시오.
풀이
① 직접 대입 시 0/0 형태 확인
$\frac{\sqrt{1 + 3} - 2}{1 - 1} = \frac{\sqrt{4} - 2}{0}$
= $\frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$
$0/0$ 꼴이므로 유리화를 진행해야 합니다.
② 분모와 분자의 유리화
$\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \times \frac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2}$
③ 분자 변형 후 약분
$\frac{(x + 3) - 4}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}$
= $\frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}$
= $\frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}$
④ 값 대입 후 계산
$\frac{1}{\sqrt{1 + 3} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
따라서 정답은 $\frac{1}{4}$ 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 유리화 과정에서 분모·분자 계산 실수
2. 유리화를 하지 않고 직접 대입해 답을 구하지 못함
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
예시:
• 유형 ①: 대입이 가능한데 불필요한 변형 후 오답 발생
• 유형 ②: 0/0 꼴에서 바로 0이라고 적음
• 유형 ③: 유리화 과정에서 계산 실수
함수의 극한 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다.
1. 직접 대입 후 $0/0$ 형태인지 확인하기
2. 인수분해, 유리화 등 적절한 변형을 적용하기
3. 계산 후 다시 한번 문제의 조건과 일치하는지 검토하기
이제 함수의 극한 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
