함수 문제만 나오면 포기하는 학생들이 많습니다. 이번에 보게 될 지수함수 문제도 마찬가지인데요. 문제 풀이 과정에서 자주 실수하는 모습을 많이 봤습니다. 특히, 지수함수의 그래프 변화를 잘못 이해하거나, 지수 법칙을 적용하는 과정에서 실수하는 경우가 많았어요. 그래서 오늘은 학생들이 어려워하는 지수함수 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
지수함수 문제 풀이와 오답 노트
지수함수에 대한 개념 정리가 필요하시면 잠시 복습하러 고고~
지수함수의 모든 것: 정의, 그래프, 실생활 활용 총정리
지수함수(Exponential Function)는 지수가 변수인 형태의 함수로, 값이 매우 빠르게 증가하거나 감소하는 특성을 가집니다. 지수함수는 수학과 과학에서 성장과 감소를 모델링하는 데 중요한 역할을
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어떠셨나요? 개념이 확실하게 잡히셨나요?
그럼 문제 풀이로 가볼까요?
문제 1: 실생활 응용형 - 바이러스 확산 모델
📌 문제
“어떤 바이러스는 매시간 2배씩 증가한다고 합니다. 처음 감염된 사람이 3명이라면,
1. 5시간 후 감염자의 수를 구하시오.
2. 감염자의 수를 지수함수로 나타내시오.”
풀이
① 지수함수의 기본 개념 이해하기
지수함수는 시간이 지날수록 증가하거나 감소하는 형태를 가집니다.
일반적인 지수함수의 형태는
$f(t) = a \cdot b^t$
여기서
• $a$ = 초기값 (초기 감염자 수)
• $b$ = 증가율 (배수)
• $t$ = 시간
② 함수식 세우기
문제에서
• 초기 감염자 수 $a = 3$
• 증가율 $b = 2$
• 시간 변수 $t$
따라서 감염자 수를 나타내는 함수는
$f(t) = 3 \cdot 2^t$
③ 5시간 후 감염자 수 구하기
$f(5) = 3 \cdot 2^5$
= $3 \cdot 32 = 96$
따라서 5시간 후 감염자는 96명입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 지수함수의 기본 식을 잘못 사용 → $f(t) = a + bt$ 처럼 일차함수 형태로 착각하는 경우
2. 거듭제곱 계산 실수 → $2^5 = 32$ 가 아니라 10 으로 계산하는 경우
문제 2: 그래프 해석형 - 감쇠 곡선 분석
📌 문제
“어떤 방사성 물질은 매년 25%씩 감소한다고 합니다. 초기 질량이 200g일 때,
1. 3년 후 남아 있는 물질의 양을 구하시오.
2. 그래프의 특징을 설명하시오.”
풀이
① 감쇠 곡선의 함수식 구하기
감소하는 지수함수의 일반적인 형태는
$f(t) = a \cdot (1 - r)^t$
여기서
• $a = 200$ (초기 질량)
• $r = 0.25$ (감소율 25%)
따라서 함수식은
$f(t) = 200 \cdot (0.75)^t$
② 3년 후 남아 있는 질량 구하기
$f(3) = 200 \cdot (0.75)^3$
= $200 \cdot 0.421875$
= $84.375g$
즉, 3년 후 남아 있는 물질의 양은 약 $84.4g$입니다.
③ 그래프 특징 설명
• 감소하는 곡선을 그리며 $x$축에 점점 가까워지지만 절대 0이 되지 않음.
• 초기값이 크지만 점점 변화량이 줄어듦.
★ [오답 포인트] ★
1. 감소율을 직접 빼는 실수 → $f(t) = 200 - 0.25t$ 로 착각
2. 거듭제곱 계산 오류 → $(0.75)^3$ 을 잘못 계산
문제 3: 역함수 추론형 - 로그 변환 문제
📌 문제
“어떤 회사의 생산량은 매년 1.5배씩 증가한다고 합니다. 초기 생산량이 100개일 때,
1. 생산량이 1,000개를 넘는 데 몇 년이 걸리는지 구하시오.
2. 이를 로그함수를 이용해 표현하시오.”
풀이
① 함수식 세우기
지수함수의 일반형
$f(t) = a \cdot b^t$
• $a = 100$ (초기 생산량)
• $b = 1.5$ (연간 증가율)
따라서
$f(t) = 100 \cdot 1.5^t$
② 1,000개가 되는 시점 찾기
$100 \cdot 1.5^t \geq 1000$
양변을 100으로 나누면,
$1.5^t \geq 10$
양변에 로그를 취하면,
$\log(1.5^t) \geq \log(10)$
$t \cdot \log(1.5) \geq 1$
$t \geq \frac{1}{\log(1.5)}$
$t \approx 7.87$
즉, 약 8년 후 생산량이 1,000개를 초과합니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 로그 변환 실수 → $\log(ab) = \log a + \log b$ 공식 적용 오류
2. 근사값 계산 오류 → $\log(1.5)$ 값 잘못 대입
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
문제를 틀렸다면 그냥 넘어가지 말고 오답 유형을 정리해보세요.
예시:
• 유형 ①: 지수함수를 일차함수로 착각
• 유형 ②: 지수감소 모델을 잘못 이해
• 유형 ③: 로그 변환 과정에서 실수
| 지수함수 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다. |
| 1. 지수 증가/감소 여부 확인 |
| 2. 거듭제곱 계산 실수 체크 |
| 3. 로그 변환 시 공식을 정확하게 적용 |
이제 지수함수 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
