“삼차방정식 문제, 공식은 아는데 왜 틀릴까요?” 삼차방정식은 최고차항이 3인 다항식 방정식으로, 근을 구하는 과정이 복잡합니다. 가장 많이 실수하는 부분은 조립제법을 활용한 인수분해 실수, 근의 개수 판단 오류, 근을 구한 후 대입 검증 미실시입니다.
오늘은 삼차방정식 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
삼차방정식 문제 풀이와 오답 노트
방정식의 항이 점점 늘어나죠?
혹시 개념 정리가 필요하신가요?
잠시 복습하고 오시죠~
삼차방정식의 해법: 인수분해, 근의 공식, 그래프 분석 가이드
삼차방정식(Cubic Equation)은 최고 차수가 3인 다항식을 포함하는 방정식입니다. 이는 이차방정식보다 복잡하지만, 3개의 실근 또는 복소근을 가질 수 있는 방정식으로, 수학과 물리학에서 중요한
science-gallery-park.tistory.com
어떠셨나요?
개념 정리가 되셨으면 문제풀이를 시작해볼까요?
문제 1: 삼차방정식의 인수분해
문제
“다음 삼차방정식을 인수분해하시오."
$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$
풀이
① 가능한 정수 근 찾기
삼차방정식에서 정수 해를 찾기 위해 상수항(12)의 약수 중 하나를 대입해 봅니다.
$f(2) = 2^3 - 3(2^2) - 4(2) + 12$
= $8 - 12 - 8 + 12 = 0$
즉, $x = 2$ 가 근입니다.
② 조립제법을 사용하여 인수분해
| 계수 | 1 | -3 | -4 | 12 |
| 2 | 2 | -2 | -12 | |
| 합계 | 1 | -1 | -6 | 0 |
즉, 인수분해식은
$(x - 2)(x^2 - x - 6) = 0$
③ 2차식 추가 인수분해
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$
따라서, 최종 인수분해식은
$(x - 2)(x - 3)(x + 2) = 0$
★ [오답 포인트] ★
1. 정수 해 찾기 오류 → 약수 대입 과정 실수
2. 조립제법 계산 실수 → 한 줄이라도 틀리면 전체 오류
문제 2: 삼차방정식의 근 구하기
문제
“다음 삼차방정식의 모든 실근을 구하시오."
$x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$
풀이
① 정수 근 찾기
상수항(-6)의 약수 중 하나를 대입합니다.
$f(1) = 1^3 + 2(1^2) - 5(1) - 6$
= $1 + 2 - 5 - 6 = -8 \neq 0$
$f(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) - 6$
= $8 + 8 - 10 - 6 = 0$
따라서, $x = 2$ 가 근입니다.
② 조립제법을 사용하여 2차식 도출
| 계수 | 1 | 2 | -5 | -6 |
| 2 | 2 | 8 | 6 | |
| 합계 | 1 | 4 | 3 | 0 |
즉, $(x - 2)(x^2 + 4x + 3) = 0$
③ 2차방정식 풀이
$x^2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)$
따라서, 최종 근은
$x = 2, -3, -1$
★ [오답 포인트] ★
1. 정수 해 찾기 오류 → 모든 약수 대입 필수
2. 조립제법 계산 실수 → 실수 하나로 전체 답이 틀림
문제 3: 삼차방정식의 복소수 근 포함 문제
문제
“다음 삼차방정식의 모든 근을 구하시오."
$x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0$
풀이
① 정수 근 찾기
상수항(-12)의 약수 중 하나를 대입합니다.
$f(3) = 3^3 - 3(3^2) + 4(3) - 12$
= $27 - 27 + 12 - 12 = 0$
즉, $x = 3$ 가 근입니다.
② 조립제법으로 2차식 도출
| 계수 | 1 | -3 | 4 | -12 |
| 3 | 3 | 0 | 12 | |
| 합계 | 1 | 0 | 4 | 0 |
즉, $(x - 3)(x^2 + 4) = 0$
③ 허근 구하기
$x^2 + 4 = 0$
$x^2 = -4$
$x = \pm 2i$
따라서, 최종 근은 $x = 3, 2i, -2i$입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 허근 개념 이해 부족 → $x^2 = -4$ 에서 계산 실수
2. 근의 개수 판단 오류 → 삼차방정식이므로 3개의 근을 찾아야 함
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
예시:
• 유형 ①: 조립제법 계산 실수
• 유형 ②: 정수 근 대입 과정에서 누락 발생
• 유형 ③: 허근을 실수라고 착각
| 삼차방정식 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다. |
| 1. 정수 근부터 대입하여 해를 찾는다. |
| 2. 조립제법을 정확히 수행하여 차수를 낮춘다. |
| 3. 이차식이 나오면 근의 공식 또는 판별식을 활용한다. |
이제 삼차방정식 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
