“복소수 문제, 공식은 아는데 왜 틀릴까요?” 복소수는 실수와 허수를 포함하는 중요한 개념으로, 수학뿐만 아니라 전자공학, 물리학에서도 활용됩니다. 하지만 문제를 풀 때 허수 단위 $ i $의 계산 실수, 켤레복소수 개념 혼동, 절댓값과 극형식 변환 오류 등의 실수를 많이 합니다. 오늘은 학생들이 가장 많이 틀리는 복소수 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
복소수 문제 풀이와 오답 포인트
복소수 개념에 대한 정리를 해보고 올까요?
복소수의 기본부터 극형식 표현까지: 복소수 완벽 정리
복소수(Complex Number)는 실수(Real Number)와 허수(Imaginary Number)를 결합한 수로, 수학의 중요한 확장 개념입니다. 복소수는 전기공학, 물리학, 신호처리 등 다양한 분야에서 활용되며, 수학적 문제를
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잘 읽고 오셨나요?
그럼 본격적으로 복소수 문제 풀이를 해보겠습니다.
문제 1: 복소수의 사칙연산
문제
“다음 복소수 연산을 수행하시오."
$(3 + 2i) + (5 - 4i) - (2 + i)$
풀이
① 실수부와 허수부 정리
각 항에서 실수부와 허수부를 분리하여 계산합니다.
$(3 + 2i) + (5 - 4i) - (2 + i)$
= $(3+5-2) + (2i - 4i - i)$
= $6 - 3i$
즉, 답은 $6 - 3i$ 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 허수부 계산 실수 → $i $항들을 정확히 더하고 빼야 함
2. 괄호 분배 오류 → 음수를 올바르게 적용하지 않음
문제 2: 켤레복소수를 이용한 나눗셈
문제
“다음 복소수를 나누시오."
$\frac{3 + 4i}{1 - 2i}$
풀이
① 켤레복소수를 분모와 분자에 곱하기
복소수의 나눗셈은 분모를 실수화하기 위해 켤레복소수를 곱해야 합니다.
$\left( \frac{3 + 4i}{1 - 2i} \right) \times \left( \frac{1 + 2i}{1 + 2i} \right)$
② 분모 계산
$(1 - 2i)(1 + 2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$
③ 분자 전개
$(3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i^2$
= $3 + 10i - 8 \quad (i^2 = -1 \text{이므로})$
= $-5 + 10i$
④ 최종 정리
$\frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$
즉, 답은 $-1 + 2i$ 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 켤레복소수를 곱하지 않음 → 분모를 실수화해야 계산 가능
2.$ i^2 = -1$ 적용 실수 → 허수 단위 계산 정확히 하기
문제 3: 복소수의 절댓값과 극형식 변환
문제
“복소수 z = 3 + 4i 의 절댓값과 극형식을 구하시오.”
풀이
① 복소수의 절댓값 구하기
복소수 $z = a + bi$ 의 절댓값은 다음 공식으로 계산됩니다.
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
= $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
즉, 절댓값은 5입니다.
② 극형식 변환하기
극형식은 다음과 같이 표현됩니다.
$z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$
여기서 $\theta$ 는 다음 공식으로 구합니다.
$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$
= $\tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)$
계산기로 구하면 $\theta \approx 53.13^\circ$ 입니다.
따라서, 극형식 표현은
$z = 5 \left( \cos 53.13^\circ + i \sin 53.13^\circ \right)$
★ [오답 포인트] ★
1. 절댓값 계산 오류 → 피타고라스 정리를 적용하지 않음
2. 극형식 변환 시 $\tan^{-1}$ 계산 실수 → 삼각함수 값을 정확히 적용
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
예시:
• 유형 ①: 복소수 연산에서 허수부 계산 오류
• 유형 ②: 켤레복소수 곱하지 않음
• 유형 ③: 극형식 변환 과정에서 각도 계산 실수
| 복소수 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다. |
| 1. 허수 단위 i 계산 정확히 하기 |
| 2. 켤레복소수 활용하여 나눗셈 실수화 |
| 3. 절댓값과 극형식 변환 시 삼각함수 정확히 적용 |
이제 복소수 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
