벡터의 연산 문제 풀이와 오답 유형 분석

“벡터 연산은 공식만 외우면 된다?” 벡터 연산은 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 필수적으로 사용됩니다. 하지만 벡터의 덧셈과 뺄셈에서 방향성 실수, 내적과 외적을 혼동하는 오류, 좌표 평면에서 벡터 연산 과정 누락 등 반복해서 틀리는 부분이 많습니다. 

가장 많이 실수하는 벡터 연산 문제 3가지를 준비했습니다. 단계별 풀이와 오답 포인트를 통해 벡터 연산을 완벽하게 정리해 보겠습니다.

 

벡터의 연산 문제 풀이와 오답 포인트

백터의 연산 문제 풀이와 오답 포인트

 

백터의 연산 개념 정리를 한번 하고 오실까요?

 

벡터의 연산이란? 덧셈, 내적, 외적 공식과 실생활 활용 사례

개념정리는 잘 되셨나요?

본격적으로 문제풀이로 고고싱~

 

문제 1: 벡터의 덧셈과 뺄셈

 

문제

“다음 두 벡터 $\mathbf{A} = (3, 4) , \mathbf{B} = (-2, 5)$ 가 주어졌을 때, 다음을 구하시오.”
1. $\mathbf{A} + \mathbf{B}$
2. $\mathbf{A} - \mathbf{B}$
3. $|\mathbf{A} + \mathbf{B}|$ (벡터의 크기)

 

풀이

 

① 벡터의 덧셈: $\mathbf{A} + \mathbf{B}$

 

벡터의 덧셈은 각 성분끼리 더해주면 됩니다.

 

$\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3, 4) + (-2, 5) = (3 + (-2), 4 + 5) = (1, 9)$

 

② 벡터의 뺄셈: $\mathbf{A} - \mathbf{B}$

 

벡터의 뺄셈은 각 성분에서 상대 벡터의 성분을 빼줍니다.

 

$\mathbf{A} - \mathbf{B} = (3, 4) - (-2, 5)$

= $(3 - (-2), 4 - 5) = (5, -1)$

 

③ 벡터의 크기: $|\mathbf{A} + \mathbf{B}|$

 

벡터 $(1,9)$ 의 크기는 다음과 같이 계산합니다.

 

$|\mathbf{A} + \mathbf{B}| = \sqrt{1^2 + 9^2}$

= $\sqrt{1 + 81} = \sqrt{82} \approx 9.06$

 

★ [오답 포인트] ★

1. 벡터의 성분을 혼동하여 덧셈과 뺄셈을 잘못 계산하는 실수
2. 벡터의 크기를 구할 때 제곱근 연산을 빼먹는 오류
3. 음수를 계산할 때 부호 실수 발생

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문제 2: 벡터의 내적 계산

 

문제

“다음 두 벡터 $\mathbf{A} = (4, -3) , \mathbf{B} = (2, 6)$ 의 내적을 구하시오.”

 

풀이

 

① 내적 공식 적용

 

벡터 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 의 내적은 다음과 같이 정의됩니다.

 

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y$

 

② 성분 대입 후 계산

 

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$

= $(4 \times 2) + (-3 \times 6) = 8 - 18 = -10$

 

★ [오답 포인트] ★

1. 각 성분을 곱한 후 더하는 것이 아니라, 벡터의 크기를 곱하는 실수
2. 부호 계산에서 음수 처리를 잘못하는 실수
3. 벡터의 내적과 외적 개념을 혼동하는 오류

 

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문제 3: 벡터의 단위벡터 구하기

 

문제

“벡터 $\mathbf{C} = (6, 8)$ 의 단위벡터를 구하시오.”

 

풀이

 

① 단위벡터 공식 적용

 

단위벡터는 주어진 벡터를 그 크기로 나눈 벡터입니다.

 

$\mathbf{\hat{C}} = \frac{\mathbf{C}}{|\mathbf{C}|}$

 

② 벡터의 크기 계산

 

$|\mathbf{C}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

 

③ 단위벡터 계산

 

$\mathbf{\hat{C}} = \frac{(6,8)}{10} = (0.6, 0.8)$

 

★ [오답 포인트] ★

1. 벡터의 크기를 잘못 계산하여 전체 값이 틀려지는 실수
2. 단위벡터를 벡터의 크기와 혼동하는 실수
3. 분자와 분모를 나누지 않고 벡터를 그대로 사용하는 오류

 

“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”

 

벡터 연산을 공부할 때는 실수 유형을 분석하고 오답 노트를 작성하는 것이 필수적입니다. 다음과 같은 방식으로 정리해보세요.

 

오답 유형 예시:

• 유형 ①: 벡터의 덧셈과 뺄셈에서 부호 실수

• 유형 ②: 내적과 외적 개념 혼동

• 유형 ③: 단위벡터 구할 때 크기 계산 실수

 

벡터 연산을 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다.

1. 연산 전 벡터 성분을 정확하게 정리하기

2. 공식 적용 후 계산 과정 하나씩 검산하기

3. 최종 답에서 부호와 단위벡터 여부 확인하기

 

이제 벡터 연산 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?