“도함수 개념은 아는데, 문제만 나오면 틀린다고요?” 도함수는 미적분학의 핵심 개념으로, 함수의 변화율을 구하는 데 사용됩니다. 하지만 문제를 풀 때 미분 공식을 잘못 적용하거나, 연쇄법칙을 빠뜨리거나, 극값과 변곡점을 찾는 과정에서 실수하는 경우가 많습니다. 오늘은 가장 많이 틀리는 도함수 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
도함수의 문제풀이와 오답포인트
도함수의 개념이 기억나지 않을 때는
다시 확인해 보고 오세요!!
도함수란? 계산법과 그래프 해석부터 문제 풀이까지
도함수(Derivative)는 함수의 변화율을 나타내는 개념으로, 미적분학에서 가장 중요한 도구 중 하나입니다. 이는 그래프의 기울기를 계산하거나, 속도와 가속도를 분석하는 데 필수적입니다. 이번
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어떠셨나요? 개념 정리가 되셨나요?
그러면 본격적으로 문제풀이로 고고싱~~
문제 1: 기본 함수의 도함수 구하기
문제
“다음 함수의 도함수를 구하시오."
$f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 7x + 4$
풀이
① 미분 공식 적용
다항함수의 도함수는 다음 공식에 따라 미분합니다.
$\frac{d}{dx} [x^n] = n x^{n-1}$
이를 적용하면,
$f{\prime}(x)$
= $3(4x^3) - 5(3x^2) + 2(2x) - 7(1) + 0$
= $12x^3 - 15x^2 + 4x - 7$
★ [오답 포인트] ★
1. 미분 공식 적용 오류 → 지수법칙 실수
2. 상수항 미분 생략 실수 → $\frac{d}{dx} [4] = 0$ 확인
문제 2: 연쇄법칙이 포함된 미분 문제
문제
“다음 함수의 도함수를 구하시오."
$g(x) = (2x^3 - 5x + 1)^4$
풀이
① 연쇄법칙 적용
연쇄법칙(chain rule)은 다음과 같이 사용합니다.
$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f{\prime}(g(x)) \cdot g{\prime}(x)$
외부 함수: $f(u) = u^4 → f{\prime}(u) = 4u^3$
내부 함수: $g(x) = 2x^3 - 5x + 1 → g{\prime}(x) = 6x^2 - 5$
따라서,
$g{\prime}(x) = 4(2x^3 - 5x + 1)^3 \cdot (6x^2 - 5)$
★ [오답 포인트] ★
1. 연쇄법칙 적용 오류 → 외부 함수 미분 후 내부 함수 미분을 잊음
2. 지수 법칙 실수 → $(u^n){\prime} = n u^{n-1}$ 적용 오류
문제 3: 극댓값과 극솟값 구하기
문제
“다음 함수의 극댓값과 극솟값을 구하시오."
$h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$
풀이
① 1차 도함수 구하기
$h{\prime}(x) = 3x^2 - 12x + 9$
② 극값 후보(임계점) 찾기
$h{\prime}(x) = 0$
$3x^2 - 12x + 9 = 0$
인수분해하면,
$3(x - 1)(x - 3) = 0$
즉, $x = 1, 3$ 에서 극값이 존재합니다.
③ 2차 도함수를 이용한 극값 판별
$h{\prime}{\prime}(x) = 6x - 12$
$x = 1$ 대입:
$h{\prime}{\prime}(1) = 6(1) - 12 = -6 \quad$ (음수이므로 극댓값)
$x = 3$ 대입:
$h{\prime}{\prime}(3) = 6(3) - 12 = 6 \quad$ {양수이므로 극솟값)
따라서, 극댓값은 $x = 1$ , 극솟값은 $x = 3$ 에서 발생합니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 임계점 찾기 오류 → 1차 도함수를 정확히 0으로 놓고 풀어야 함
2. 극값 판별 과정 오류 → 2차 도함수를 이용해 판별하는 과정에서 실수
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
예시:
• 유형 ①: 미분 공식을 잘못 적용
• 유형 ②: 연쇄법칙에서 내부 함수 미분을 빠뜨림
• 유형 ③: 극댓값과 극솟값 판별 과정에서 2차 도함수 활용 오류
| 도함수 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다. |
| 1. 미분 공식을 정확하게 적용하기 |
| 2. 연쇄법칙을 빠뜨리지 않기 |
| 3. 극댓값, 극솟값을 찾을 때 2차 도함수까지 활용하기 |
이제 도함수 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
