행렬 연산과 응용 문제 풀이와 오답 분석

목차

행렬 문제풀이와 오답포인트

문제 1: 행렬 곱셈 연산 문제

★ [오답 포인트] ★

문제 2: 역행렬 구하기

★ [오답 포인트] ★

문제 3: 연립방정식과 행렬

★ [오답 포인트] ★

“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”

“행렬 연산, 개념은 아는데 왜 계산하면 틀릴까요?” 행렬은 선형대수학의 핵심 개념으로, 공학, 컴퓨터 과학, 통계 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 하지만 문제를 풀 때 행렬 곱셈의 연산 실수, 역행렬 계산 오류, 연립방정식 풀이 과정에서 실수하는 경우가 많습니다. 오늘은 가장 많이 틀리는 행렬 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!

 

행렬 문제풀이와 오답포인트

행렬 문제풀이와 오답포인트

 

행렬 문제를 풀기전에 개념 정리 한번 하고 올까요?

 

쉽게 배우는 행렬: 정의와 계산법부터 실생활 활용까지

잘 읽고 오셨나요?

그럼 본격적으로 문제풀이 시작해볼까요?

 

문제 1: 행렬 곱셈 연산 문제

 

문제

“다음 두 행렬의 곱을 구하시오.”

$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

 

풀이

 

① 행렬 곱셈 규칙 확인

 

행렬의 곱셈은 행 × 열 연산으로 이루어집니다.

즉, $C = A \times B$ 의 원소 $C_{ij}$ 는 A의 $i$번째 행과 B의 $j$번째 열을 곱한 후 더한 값입니다.

 

② 실제 계산

 

$C_{11} = (2 \times 5) + (3 \times 2) = 10 + 6 = 16$

 

$C_{12} = (2 \times 1) + (3 \times 3) = 2 + 9 = 11$

 

$C_{21} = (1 \times 5) + (4 \times 2) = 5 + 8 = 13$

 

$C_{22} = (1 \times 1) + (4 \times 3) = 1 + 12 = 13$

 

따라서, 결과 행렬은

 

$C = \begin{bmatrix} 16 & 11 \\ 13 & 13 \end{bmatrix}$

 

★ [오답 포인트] ★

1. 행과 열 순서 혼동 → (행 $\times$ 열) + (행 $\times$ 열) 순서대로 연산
2. 덧셈, 곱셈 실수 → 사칙연산 검산 필수

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문제 2: 역행렬 구하기

 

문제

“다음 행렬 A 의 역행렬을 구하시오.”

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

 

풀이

 

① 역행렬 공식 확인

 

2×2 행렬의 역행렬은 다음 공식으로 구합니다.

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

 

여기서 $\det(A)$ (행렬식)는

 

$\det(A) = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2$

 

② 역행렬 계산

 

$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

= $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

 

따라서, 역행렬은

 

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

 

★ [오답 포인트] ★

1. 행렬식$(det)$ 계산 오류 → $ad - bc$ 공식 정확히 적용
2. 역행렬 곱셈 실수 → 1/행렬식과 원소 곱셈 과정에서 실수

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문제 3: 연립방정식과 행렬

 

문제

“다음 연립방정식을 행렬을 이용해 풀어라.”

 

$\begin{cases} 2x+3y=8\\ 4x+y=5 \end{cases}$

 

풀이

 

① 행렬 형태로 변환

 

위 식을 행렬 형태로 표현하면

 

$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 \\ 5 \end{bmatrix}$

 

즉, $AX = B$ 형태가 됩니다.

 

② 역행렬을 이용한 풀이

 

$X = A^{-1} B$

 

먼저 행렬 A의 역행렬을 구하면,

 

$\det(A) = (2 \times 1) - (3 \times 4) = 2 - 12 = -10$

 

$A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \\ \frac{4}{10} & -\frac{2}{10} \end{bmatrix}$

 

이제 $X = A^{-1} B$ 계산

 

$X = \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \\ \frac{4}{10} & -\frac{2}{10} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 \\ 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} (-\frac{1}{10} \times 8) + (\frac{3}{10} \times 5) \\ (\frac{4}{10} \times 8) + (-\frac{2}{10} \times 5) \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -0.8 + 1.5 \\ 3.2 - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.7 \\ 2.2 \end{bmatrix}$

 

즉, $x = 0.7, y = 2.2$ 입니다.

 

★ [오답 포인트] ★

1. 연립방정식을 행렬로 변환하는 과정 오류
2. 역행렬 계산 실수 → 행렬식과 원소 곱셈 주의

 

“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”

 

예시:

• 유형 ①: 행렬 곱셈 시 행과 열을 혼동

• 유형 ②: 역행렬 계산에서 행렬식(det) 오류

• 유형 ③: 연립방정식을 행렬로 변환하는 과정에서 실수

 

행렬 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다.

1. 행렬 연산 시 행과 열 순서를 정확히 파악하기

2. 역행렬을 구할 때 행렬식(det)을 반드시 체크하기

3. 연립방정식 해법을 검산하여 확인하기

 

이제 행렬 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?