“연속성 개념은 아는데, 문제만 풀면 헷갈린다면?” 함수의 연속은 미적분의 기본 개념 중 하나이며, 함수가 특정 점에서 끊어지지 않고 부드럽게 이어지는지를 판단하는 개념입니다. 하지만 문제를 풀 때 극한값과 함수값 혼동, 분모가 0이 되는 구간 실수, 함수식 변형 오류 등을 자주 범합니다. 가장 많이 틀리는 함수의 연속 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
함수의 연속 문제풀이와 오답 포인트
함수의 연속 개념정리를 한번 하고 오실까요?
함수의 연속이란? 기초 개념부터 실생활 활용까지 완벽 정리
함수의 연속(Continuity)은 함수가 특정 점에서 끊기지 않고 매끄럽게 연결되는지를 설명하는 중요한 개념입니다. 함수의 극한, 미분 가능성, 연속성은 미적분학의 기초를 이루며, 실생활 문제를
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개념정리는 잘 되셨나요?
본격적으로 문제 풀이로 고고싱~
문제 1: 함수의 연속 판별하기
문제
“다음 함수 $f(x) 가 x = 2$ 에서 연속인지 판단하시오.”
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & x < 2 \\ ax + b, & x \geq 2 \end{cases}$
만약 연속이라면, $a$ 와 $b$ 의 값을 구하시오.
풀이
① 연속의 조건 확인
함수 $f(x)$ 가 $x = 2$ 에서 연속이려면 다음 조건이 성립해야 합니다.
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$
즉, 좌극한, 우극한, 함수값이 모두 같아야 합니다.
② 좌극한 계산 ( $x \to 2^-$ )
$x < 2$ 일 때 함수식은 $f(x) = x^2 - 4$ 이므로,
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$
③ 우극한 계산 ( $x \to 2^+$ )
$x \geq 2$ 일 때 함수식은 $f(x) = ax + b$ 이므로,
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = a(2) + b = 2a + b$
④ 함수값 계산
$f(2) = a(2) + b = 2a + b$
⑤ 연속 조건 적용
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$
즉,
$0 = 2a + b$
이 방정식을 만족하는 $a, b$ 값을 구하면 됩니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 좌극한과 우극한을 헷갈려서 대입 실수
2. 우극한을 함수값과 동일하게 착각하는 실수
문제 2: 함수가 모든 실수에서 연속하도록 하는 상수 찾기
문제
“다음 함수 $g(x)$ 가 모든 실수에서 연속이 되도록 상수 $c$ 의 값을 구하시오.”
$g(x) =
\begin{cases}
x + 2, & \text{if } x < 1 \\
c, & \text{if } x = 1 \\
x^2 - 2x + 3, & \text{if } x > 1
\end{cases}$
풀이
① 연속의 조건 확인
모든 실수에서 연속이므로 $x = 1$ 에서도 연속해야 합니다. 즉,
$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1)$
② 좌극한 계산 ( $x \to 1^-$ )
$x < 1$ 일 때 $g(x) = x + 2$ 이므로,
$\lim_{x \to 1^-} g(x) = 1 + 2 = 3$
③ 우극한 계산 ( $x \to 1^+$ )
$x > 1$ 일 때 $g(x) = x^2 - 2x + 3$ 이므로,
$\lim_{x \to 1^+} g(x) = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
④ 함수값과 일치 조건 적용
$\lim_{x \to 1^-} g(x) = g(1) = \lim_{x \to 1^+} g(x)$
즉,
$3 = c = 2$
하지만 이 식은 모순이므로, 모든 실수에서 연속이 되는 $c$ 는 존재하지 않는다는 결론이 나옵니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 좌극한과 우극한을 구할 때 다른 값으로 대입하는 실수
2. 함수값 $g(1)$ 과 극한을 다르게 적용하는 실수
문제 3: 분모가 0이 되는 극한에서 연속성 판별
문제
“다음 함수 $h(x)$ 가 $x = 3$ 에서 연속이 되도록 하는 상수 $k$ 의 값을 구하시오.”
$h(x) =
\begin{cases}
\frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x \neq 3 \\
k, & x = 3
\end{cases}$
풀이
① 직접 대입 시 $0/0$ 형태 확인
$\frac{3^2 - 9}{3 - 3} = \frac{9 - 9}{0} = \frac{0}{0}$
$0/0$ 꼴이므로 변형이 필요합니다.
② 분자 인수분해 후 약분
$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3}$
= $x + 3$
③ 극한값 계산
$\lim_{x \to 3} h(x) = 3 + 3 = 6$
④ 연속 조건 적용
$h(3) = k = 6$
따라서 $k = 6$ 이면 연속입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. $0/0$ 형태에서 직접 답을 구하려는 실수
2. 인수분해 후 약분을 잊고 직접 계산하는 실수
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
예시:
• 유형 ①: 함수값과 극한값을 혼동하여 실수
• 유형 ②: 0/0 형태에서 적절한 변형 없이 계산하려 함
• 유형 ③: 좌극한, 우극한을 제대로 구분하지 못함
함수의 연속 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다.
1. 좌극한과 우극한이 같은지 확인하기
2. 함수값과 극한값이 같은지 비교하기
3. 분수식인 경우 인수분해, 약분을 통해 극한값을 정확히 구하기
이제 함수의 연속 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
