앙페르의 법칙 문제풀이

앙페르의 법칙을 통해 전류와 자기장의 상호작용을 이해하고, 다양한 문제 풀이로 실력을 늘려봅시다.

앙페르의 법칙 문제풀이

문제 1: 긴 직선 도선 주위의 자기장 계산

문제

길이가 충분히 긴 직선 도선에 전류 $I = 5 \, \text{A}$가 흐르고 있습니다. 도선에서 반지름 $r = 0.1 \, \text{m}$ 떨어진 점에서 자기장$B$의 크기를 구하시오

풀이

1. 앙페르의 법칙 적용
앙페르의 법칙은 다음과 같이 주어집니다.

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$

여기서,
• $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$: 자기장이 닫힌 경로를 따라 순환하는 크기
• $\mu_0$: 진공의 투자율 ($4\pi \times 10^{-7} \, \text{N/A}^2$)
• $I_{\text{enc}}$: 경로 내부의 전류

2. 대칭성 고려
긴 직선 도선 주위에서는 자기장이 원형 경로를 따라 균일합니다. 따라서 자기장의 크기 $B$는 일정하며, 원형 경로의 길이는 $2\pi r$로 나타납니다.

이를 앙페르의 법칙에 대입하면:

$B \cdot (2\pi r) = \mu_0 I$

3. 자기장의 크기 계산
위 식을 $B$에 대해 풀면 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

이제 값을 대입합니다.

$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot 5}{2\pi \cdot 0.1}$

계산을 정리하면 $B = \frac{2 \times 10^{-6}}{0.2} = 10^{-5} \, \text{T}$

4. 결론
도선에서 $0.1 \, \text{m}$ 떨어진 점에서 자기장의 크기는 $10^{-5} \, \text{T}$입니다.

문제 2: 솔레노이드 내부의 자기장 계산

문제

길이가 $L = 0.5 \, \text{m}$이고 1000회 감긴 솔레노이드에 전류 $I = 2 \, \text{A}$가 흐를 때, 솔레노이드 내부의 자기장을 구하시오.

풀이

1. 솔레노이드 내부 자기장의 식
솔레노이드 내부의 자기장은 다음 식으로 표현됩니다:

$B = \mu_0 n I$

여기서,
• $n$: 단위 길이당 코일 수 ($n = \frac{\text{전체 감은 횟수}}{\text{솔레노이드 길이}}$)
• $I$: 솔레노이드에 흐르는 전류

2. 단위 길이당 코일 수 계산
전체 감은 횟수는 1000회, 솔레노이드의 길이는 $0.5 \, \text{m}$이므로:

$n = \frac{1000}{0.5} = 2000 \, \text{turns/m}$

3. 값 대입 및 계산
자기장의 크기는 다음과 같이 계산됩니다:

$B = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot 2000 \cdot 2$

계산을 단계별로 정리하면:

$B = 8\pi \times 10^{-4} \, \text{T}$

$B \approx 5.03 \times 10^{-3} \, \text{T}$

4. 결론
솔레노이드 내부의 자기장은 약 $5.03 \times 10^{-3} \, \text{T}$입니다.

문제 3: 원형 루프의 중심에서의 자기장 계산

문제

반지름 $R = 0.1 \, \text{m}$인 원형 도선에 전류 $I = 3 \, \text{A}$가 흐르고 있습니다. 원형 루프의 중심에서 자기장의 크기를 구하시오.

풀이

1. 원형 루프의 중심 자기장 식
원형 루프 중심에서의 자기장은 다음 식으로 표현됩니다.

$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$

여기서,
• $R$: 원형 루프의 반지름
• $I$: 원형 루프를 통과하는 전류

2. 값 대입 및 계산
식에 주어진 값을 대입합니다.

$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot 3}{2 \cdot 0.1}$

계산을 정리하면:

$B = \frac{12\pi \times 10^{-7}}{0.2}$

$B = 1.88 \times 10^{-6} \, \text{T}$

3. 결론
원형 도선 중심에서의 자기장은 약 $1.88 \times 10^{-6} \, \text{T}$입니다.