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수학탐험/개념정리

쉽게 배우는 순열과 조합: 정의, 공식, 문제 풀이 가이드

by 과학박사 2024. 11. 22.

순열(Permutation)조합(Combination)주어진 대상 중에서 선택하고 배열하는 방법을 계산하는 중요한 수학적 개념입니다. 두 개념은 주로 확률, 통계, 그리고 일상적인 문제 해결에서 사용됩니다. 이번 포스팅에서는 순열과 조합의 정의, 공식, 차이점, 계산법, 실생활 활용 예제를 포함하여 알아보겠습니다.

 

순열과 조합

순열과 조합
순열과 조합-주어진 대상 중에서 선택하고 배열하는 방법을 계산하는 중요한 수학적 개념

 

1. 순열(Permutation)이란?

 

순열은 순서가 중요한 경우에 선택한 대상들의 배열을 계산하는 방법입니다.

 

• 순서가 다르면 서로 다른 순열로 간주합니다.

• 예: A, B, C를 나열하는 경우, ABC와 BAC는 서로 다른 순열입니다.

 

순열 공식

 

n 개의 대상에서 r 개를 선택해 배열하는 순열의 수는 다음과 같이 계산합니다.

 

P(n,r)=n!/(nr)!

 

여기서,

 

• n : 전체 대상의 수

• r : 선택한 대상의 수

• n! : n 의 팩토리얼 (n×(n1)×(n2)1)

 

순열 예제

 

5명의 학생 중 3명을 순서대로 세우는 경우:

 

P(5,3)=5!/(53)!=5×4×31=60

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2. 조합(Combination)이란?

 

조합은 순서와 상관없이 선택만 고려하는 경우의 수를 계산합니다.

 

• 순서가 달라도 같은 조합으로 간주합니다.

• 예: A, B, C 중 2개를 선택하는 경우, AB 와 BA는 같은 조합입니다.

 

조합 공식

 

n 개의 대상에서 r 개를 선택하는 조합의 수는 다음과 같이 계산합니다.

 

C(n,r)=n!/[r!×(nr)!]

 

여기서,

 

• n : 전체 대상의 수

• r : 선택한 대상의 수

 

조합 예제

 

5명의 학생 중 3명을 순서에 상관없이 선택하는 경우:

 

C(5,3)=5!/[3!×(53)!]=5×4×33×2×1=10

3. 순열과 조합의 차이

 

구분 순열(Permutation) 조합(Combination)
순서 중요성 순서가 중요함 순서가 중요하지 않음
공식 P(n,r)=n!/(nr)!  C(n,r)=n!/[r!×(nr)!] 
예제 3명 중 2명을 순서대로 배열:  ABBA 3명 중 2명을 선택:  AB=BA
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4. 순열과 조합의 실생활 활용 예제

 

1. 순열의 활용

• 자리 배치: 5명 중 3명을 좌석에 앉히는 경우.

• 비밀번호 생성: 숫자나 알파벳으로 특정 순서의 비밀번호를 만드는 경우.

 

2. 조합의 활용

• 팀 구성: 10명 중 4명을 선택하여 팀을 구성하는 경우.

• 복권 번호: 45개의 숫자 중 6개를 선택하는 경우.

 

3. 순열과 조합의 복합 활용

• 스포츠 경기: 팀을 조합으로 선택한 뒤, 순서를 정해 경기를 진행합니다.

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5. 순열과 조합 계산 연습

 

문제

 

• 6명의 학생 중에서 2명을 선택하여 자리 배치를 정합니다.

• 6명의 학생 중에서 2명을 선택만 합니다.

 

풀이

 

1. 자리 배치 (순열):

 

P(6,2)=6!/(62)!=6×5=30

 

2. 선택만 (조합):

 

C(6,2)=6!/[2!×(62)!]=6×52=15

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자주 묻는 질문 (FAQs)

 

1. 순열과 조합은 언제 사용되나요?

 

• 순열은 순서가 중요할 때 사용합니다. 예: 자리 배치, 비밀번호 생성.

• 조합은 순서가 중요하지 않을 때 사용합니다. 예: 팀 구성, 복권 번호 선택.

 

2. 팩토리얼 계산은 어떻게 하나요?

 

팩토리얼은 n!=n×(n1)×(n2)1입니다.

예: 5!=5×4×3×2×1=120

 

3. 순열과 조합 계산에서 n 과 r의 조건은 무엇인가요?

 

nr이어야 하며, r 은 음수가 될 수 없습니다. n 은 전체 대상의 수, r 은 선택하는 수를 나타냅니다.



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