“수열의 합 공식은 아는데, 문제만 풀면 자꾸 틀릴까요?” 수열의 합은 연속된 항들의 총합을 구하는 개념으로, 내신과 수능에서 등차수열의 합, 등비수열의 합, 특정 항까지의 부분합 등의 문제로 자주 출제됩니다. 하지만 문제를 풀 때 공식 적용 오류, 항의 개수 착각, 부호 실수 등의 실수를 많이 합니다. 오늘은 가장 많이 틀리는 수열의 합 문제 3가지 유형을 선별해 단계별 풀이와 오답 포인트를 정리해 보았습니다. 문제 풀이가 끝나면 오답 노트 작성법도 알려드릴 테니 끝까지 읽어보세요!
수열의 합 문제풀이와 오답 포인트
수열의 합 개념에 대해서 정리가 필요하시면 참고하시면 됩니다.
수열의 합이란? 등차수열과 등비수열 합 공식과 예제 완벽 정리
수열의 합(Sum of Sequence)은 주어진 수열의 항들을 더한 결과를 말합니다. 이는 수학의 기초적이면서도 중요한 개념으로, 다양한 유형의 수열에 대해 일반항과 합 공식을 사용해 합을 계산할 수 있
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개념 정리는 되셨나요?
본격적으로 문제풀이로 고고싱~
문제 1: 등차수열의 합 구하기
문제
“첫째항이 4이고 공차가 3인 등차수열에서 처음 10개 항의 합을 구하시오.”
풀이
① 등차수열의 합 공식 적용
등차수열의 합 공식은 다음과 같습니다.
$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$
여기서,
• $a_1 = 4$ (첫째항)
• $d = 3$ (공차)
• $n = 10$
② 마지막 항 $a_n$ 계산
$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
= $4 + (10-1) \cdot 3$
= $4 + 27 = 31$
③ 합 계산
$S_{10} = \frac{10}{2} (4 + 31)$
= $5 \cdot 35$
= 175
따라서 처음 10개 항의 합은 175 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 공식에서 마지막 항 $a_n$ 을 구하는 과정 생략
2. $n-1$ 대신 $n$ 을 사용하여 공차를 잘못 곱하는 실수
3. 공차가 음수일 때 부호 실수
문제 2: 등비수열의 합 구하기
문제
“첫째항이 2이고 공비가 3인 등비수열에서 처음 5개 항의 합을 구하시오.”
풀이
① 등비수열의 합 공식 적용
등비수열의 합 공식은 다음과 같습니다.
$S_n = \frac{a_1 (1 - r^n)}{1 - r}, \quad (r \neq 1)$
여기서,
• $a_1 = 2$
• $r = 3$
• $n = 5$
② 값 대입 후 계산
$S_5 = \frac{2(1 - 3^5)}{1 - 3}$
= $\frac{2(1 - 243)}{-2}$
= $\frac{2(-242)}{-2}$
= 242
따라서 처음 5개 항의 합은 242 입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 공비 $r$ 이 1일 때 공식 적용 오류 (이 경우 등차수열의 합 공식 사용해야 함)
2. 부호 실수로 음수를 양수로 계산하는 오류
문제 3: 특정 항까지의 부분합 구하기
문제
“수열 $5, 10, 20, 40, \dots$ 에서 처음으로 합이 1000을 초과하는 항의 번호를 구하시오.”
풀이
① 등비수열의 합 공식 적용
$S_n = \frac{a_1 (1 - r^n)}{1 - r}$
여기서,
• $a_1 = 5$
• $r = 2$
• $S_n > 1000$
② 방정식 세우기
$\frac{5(1 - 2^n)}{1 - 2} > 1000$
$5(1 - 2^n) > -1000$
$1 - 2^n < -200$
$-2^n < -201$
$2^n > 201$
③ n 계산
$2^7 = 128 , 2^8 = 256$ 이므로,
$n = 8$
따라서 처음으로 합이 1000을 초과하는 항의 번호는 8입니다.
★ [오답 포인트] ★
1. 부등호 방향을 반대로 적용하여 틀린 값 도출
2. 부분합이 일정 기준을 초과하는 경우 $n$ 값을 제대로 찾지 못함
“오답 노트는 이렇게 작성하세요!”
예시:
• 유형 ①: 등차수열 합 공식 적용 실수
• 유형 ②: 등비수열 합 공식 사용 시 부호 실수
• 유형 ③: 특정 항 찾을 때 부등호 방향 헷갈림
| 수열의 합 문제를 정복하는 핵심은 3단계 검증입니다. |
| 1. 공식 적용 시 마지막 항 계산을 정확히 하기 |
| 2. 공비와 공차의 부호를 신중하게 확인하기 |
| 3. 부분합 문제에서 n 값이 올바르게 도출되는지 체크하기 |
이제 수열의 합 문제, 더 이상 헷갈리지 않겠죠?
