벡터의 성분과 내적개념을 확실하게 정복하는 시간을 가져볼 거예요. 특히, 문제 풀이 과정에서 자주 발생하는 오답 포인트를 짚어보고, 실력 향상에 도움이 될 3가지 유형의 문제를 엄선하여 상세한 해설과 함께 준비했습니다. 벡터 때문에 고민이셨던 분들은 오늘 포스팅에 집중해 주세요!
벡터의 성분과 내적 문제풀이와 오답 포인트
잠깐! 혹시 벡터의 성분과 내적에 대한 개념 정리가 필요하신가요?
벡터의 성분과 내적: 기초 개념부터 실생활 응용 완벽 가이드
벡터(Vector)는 크기와 방향을 가진 물리적, 수학적 개체입니다. 벡터의 성분과 내적은 벡터의 기하학적 성질과 대수적 관계를 이해하는 데 필수적인 개념입니다. 특히 벡터 내적은 물리학, 공학,
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개념 정리는 되셨나요?
본격적으로 문제 풀이로 고고싱~
문제 1: 벡터의 성분과 크기, 방향각의 관계 이해
문제
좌표평면 위의 벡터 $\vec{a} = (3, -4)$ 에 대하여 다음을 구하시오.
1. 벡터 $\vec{a}$ 의 크기 $|\vec{a}|$2. 벡터 $\vec{a}$ 가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각 $\theta$ (단, $0^\circ \le \theta < 360^\circ$)
풀이
1. 벡터 크기 계산: 벡터 $\vec{a} = (a_x, a_y)$ 의 크기 $|\vec{a}|$ 는 다음과 같이 계산합니다.
$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
주어진 벡터 $\vec{a} = (3, -4)$ 에 대입하면,
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
따라서 벡터 $\vec{a}$ 의 크기는 5입니다.
2. 방향각 계산: 벡터 $\vec{a} = (a_x, a_y)$ 가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각 $\theta$ 는 다음과 같이 삼각함수를 이용하여 구할 수 있습니다.
$\cos \theta = \frac{a_x}{|\vec{a}|}, \sin \theta = \frac{a_y}{|\vec{a}|}$
$\tan \theta = \frac{a_y}{a_x}$
주어진 벡터 $\vec{a} = (3, -4)$ 에 대입하면,
$\cos \theta = \frac{3}{5}, \sin \theta = \frac{-4}{5}, \tan \theta = \frac{-4}{3}$
$\tan \theta = -\frac{4}{3}$ 이고, $\cos \theta > 0, \sin \theta < 0$ 이므로 각 $\theta$ 는 4사분면에 위치합니다.
계산기를 이용하여 $\tan^{-1} (-\frac{4}{3})$ 값을 구하면 약 $-53.1^\circ$ 입니다.
4사분면의 각으로 표현하기 위해 $360^\circ$ 를 더해주면,
$\theta \approx -53.1^\circ + 360^\circ = 306.9^\circ$
따라서 벡터 $\vec{a}$ 가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각은 약 $306.9^\circ$ 입니다.
★ 오답 포인트 ★
* 크기 계산 시 부호 실수: 벡터 성분의 제곱 계산 시 음수의 부호를 빠뜨리거나, 제곱 후 덧셈 과정에서 실수를 하는 경우가 많습니다. 각 성분을 제곱할 때 부호를 정확히 제곱하고, 덧셈 연산을 꼼꼼히 확인해야 합니다.
* 방향각 계산 시 사분면 고려 부족: $\tan \theta$ 값만 보고 섣불리 예각으로 방향각을 결정하는 경우가 있습니다. $\cos \theta$ 와 $\sin \theta$ 의 부호를 함께 고려하여 벡터가 위치하는 사분면을 정확히 판단하고, 올바른 방향각을 찾아야 합니다. 특히 4사분각을 표현할 때 음각으로 표현하거나, $360^\circ$를 더하는 과정을 잊는 실수를 주의해야 합니다.
문제 2: 벡터의 내적 계산 및 활용
문제
두 벡터 $\vec{a} = (2, 1)$ 과 $\vec{b} = (3, -2)$ 에 대하여 다음을 구하시오.
1. 내적 $\vec{a} \cdot \vec{b}$
2. 두 벡터 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 가 이루는 각 $\theta$ (단, $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$)
풀이
1. 내적 계산: 두 벡터 $\vec{a} = (a_x, a_y)$ 와 $\vec{b} = (b_x, b_y)$ 의 내적 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 는 다음과 같이 계산합니다.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$
주어진 벡터 $\vec{a} = (2, 1)$ 과 $\vec{b} = (3, -2)$ 에 대입하면,
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(3) + (1)(-2) = 6 - 2 = 4$
따라서 두 벡터 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 의 내적은 4입니다.
2. 두 벡터가 이루는 각 계산: 두 벡터 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 가 이루는 각 $\theta$ 는 내적의 정의를 이용하여 구할 수 있습니다.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
먼저 벡터 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 의 크기를 계산합니다.
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$
계산된 내적 값과 벡터 크기를 대입하면,
$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5} \sqrt{13}} = \frac{4}{\sqrt{65}}$
$\theta = \cos^{-1} (\frac{4}{\sqrt{65}})$
계산기를 이용하여 $\cos^{-1} (\frac{4}{\sqrt{65}})$ 값을 구하면 약 $60.3^\circ$ 입니다.
따라서 두 벡터 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 가 이루는 각은 약 $60.3^\circ$ 입니다.
★ 오답 포인트 ★
* 내적 계산 공식 혼동: 내적 계산 시 $a_x b_y + a_y b_x$ 와 같이 잘못된 공식을 적용하거나, 덧셈 대신 곱셈을 하는 등 공식 적용에 혼동을 겪는 경우가 있습니다. 내적 계산 공식 $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$ 를 정확하게 암기하고, 각 성분을 올바르게 대입해야 합니다.
* 각도 계산 시 $\cos \theta$ 값 범위 착각: $\cos \theta$ 값을 계산 후 각 $\theta$ 를 구할 때, 항상 예각으로만 답하는 경우가 있습니다. 문제에서 주어진 각의 범위 (일반적으로 $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) 를 확인하고, $\cos^{-1}$ 함수를 이용하여 올바른 각도를 찾아야 합니다. 필요에 따라 둔각의 가능성도 고려해야 합니다.
문제 3: 수직 조건과 벡터 내적 활용
문제
벡터 $\vec{a} = (k+1, 2)$ 와 벡터 $\vec{b} = (k, -3)$ 이 서로 수직일 때, 상수 $k$ 의 값을 구하시오.
풀이
두 벡터가 서로 수직일 조건은 내적이 0인 것입니다. 즉, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 입니다.
주어진 벡터 $\vec{a} = (k+1, 2)$ 와 $\vec{b} = (k, -3)$ 의 내적을 계산하면,
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (k+1)(k) + (2)(-3) = 0$
$k^2 + k - 6 = 0$
이차방정식을 인수분해하면,
$(k+3)(k-2) = 0$
따라서 $k = -3$ 또는 $k = 2$ 입니다.
답: $k = -3$ 또는 $k = 2$
★ 오답 포인트 ★
* 수직 조건 혼동: 두 벡터가 수직일 조건으로 내적이 0이 아니라 크기가 0이라고 착각하거나, 평행 조건과 혼동하는 경우가 있습니다. 두 벡터가 수직일 조건은 "내적이 0" 임을 정확히 기억하고, 문제에 적용해야 합니다.
* 이차방정식 풀이 오류: 내적 계산 후 얻어진 이차방정식을 제대로 풀지 못하거나, 인수분해 또는 근의 공식 적용 과정에서 실수를 하는 경우가 있습니다. 이차방정식 풀이 과정을 꼼꼼히 점검하고, 해가 두 개 존재하는 경우 모두 답으로 제시해야 합니다.
마무리하며: 벡터, 이제 두려워하지 마세요!
벡터의 성분과 내적에 대한 3가지 유형의 문제 풀이와 함께, 자주 겪는 오답 포인트를 집중적으로 분석했습니다. 이 포스팅을 통해 벡터 개념에 대한 이해를 높이고, 문제 풀이 능력을 향상시키는 데 도움이 되셨기를 바랍니다.
핵심 내용을 다시 한번 강조하자면,
* 벡터 크기 계산 시 부호 실수 조심!
* 방향각 계산 시 사분면 고려 필수!
* 내적 계산 공식 정확히 암기!
* 수직 조건은 내적이 0!
이 오답 포인트들을 명심하고 꾸준히 연습한다면, 여러분도 벡터 마스터가 될 수 있습니다!
앞으로도 유익한 콘텐츠로 찾아뵙겠습니다.
