벡터(Vector)는 크기와 방향을 가진 물리적, 수학적 개체로, 공학, 물리학, 컴퓨터 그래픽스 등에서 널리 사용됩니다. 벡터 연산은 벡터의 기하학적 및 대수적 성질을 활용해 다양한 문제를 해결하는 데 필수적입니다.
벡터의 연산
1. 벡터의 기초 정의
벡터는 크기(Scalar)와 방향(Direction)을 가진 물리적 양입니다.
• 표기: 벡터 $\vec{v}$ 또는 $\mathbf{v}$
• 2차원 벡터: $\vec{v} = (v_1, v_2)$
• 3차원 벡터: $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$
벡터의 주요 특성
1. 크기(Length, Magnitude): 벡터의 크기는 다음과 같이 계산됩니다.
$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}$
2. 단위 벡터(Unit Vector): 크기가 1인 벡터.
$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$
2. 벡터 연산의 종류
1. 벡터의 덧셈과 뺄셈
• 벡터 덧셈:
$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$
• 벡터 뺄셈:
$\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$
예제
$\vec{a} = (3, 4), \quad \vec{b} = (1, 2)$
$\vec{a} + \vec{b} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)$
$\vec{a} - \vec{b} = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)$
2. 스칼라 곱(Scalar Multiplication)
벡터를 스칼라 c 로 곱하면, 벡터의 크기는 변화하지만 방향은 유지됩니다.
$c \vec{v} = (c v_1, c v_2, \ldots, c v_n)$
예제
$c = 2, \quad \vec{v} = (3, 4)$
$2 \vec{v} = (2 \cdot 3, 2 \cdot 4) = (6, 8)$
3. 내적(Dot Product)
벡터의 내적은 두 벡터의 크기와 그 사이 각도의 코사인 값을 곱한 값입니다.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n$
또는,
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$
예제
$\vec{a} = (3, 4), \quad \vec{b} = (1, 2)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \cdot 1) + (4 \cdot 2) = 3 + 8 = 11$
4. 외적(Cross Product)
외적은 두 벡터 사이에 수직인 벡터를 생성합니다(3차원에서만 정의).
$\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}$
예제
$\vec{a} = (1, 0, 0), \quad \vec{b} = (0, 1, 0)$
$\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{vmatrix}
= \mathbf{k}$
3. 벡터 연산의 실생활 활용
1. 물리학: 힘의 합성
| 문제 |
| 어떤 물체에 중력 $\vec{F}_1 = (0, -10) N$과 마찰력 $\vec{F}_2 = (-3, 0) N$이 작용합니다. 이 두 힘의 합력을 계산하여 물체가 받는 총 힘의 크기와 방향을 구하세요. |
| 해결 |
| 1. 벡터 합성 $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (0 + (-3), -10 + 0) = (-3, -10)$ 2. 합력의 크기 계산 합력의 크기는 다음과 같이 계산됩니다. $|\vec{F}| = \sqrt{(-3)^2 + (-10)^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \approx 10.44 \, \text{N}$ 3. 방향 계산 방향은 $x -$축과 이루는 각도로 계산됩니다. $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-10}{-3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{10}{3}\right) \approx 73.3^\circ$ |
| 결론 |
| 총 합력의 크기는 약 $10.44 N$, 방향은 $x -$축의 음의 방향으로 약 $73.3^\circ$ 입니다. |
2. 컴퓨터 그래픽스: 3D 모델에서의 객체 이동
| 문제 |
| 3D 모델의 객체가 현재 위치 $\vec{P}_0 = (2, 3, 5)$ 에 있으며, $\vec{v} = (1, -2, 0)$ 의 방향으로 이동하려고 합니다. 5초 후 객체의 최종 위치를 계산하세요. |
| 해결 |
| 1. 이동 방향 계산 이동 벡터는 방향 벡터 $\vec{v}$ 에 시간 $t$ 를 곱하여 계산됩니다. $\vec{\Delta P} = t \cdot \vec{v} = 5 \cdot (1, -2, 0) = (5, -10, 0)$ 2. 최종 위치 계산 최종 위치는 초기 위치와 이동 벡터의 합으로 구합니다. $\vec{P}_t = \vec{P}_0 + \vec{\Delta P} = (2, 3, 5) + (5, -10, 0) = (7, -7, 5)$ |
| 결론 |
| 5초 후 객체의 위치는 (7, -7, 5) 입니다. |
3. 기계공학: 로봇 팔의 이동 경로
| 문제 |
| 로봇 팔의 두 관절이 각각 벡터 $\vec{a} = (3, 4)$ 와 $\vec{b} = (5, 0)$ 방향으로 힘을 작용한다고 가정합니다. 로봇 팔이 작용하는 총 이동 방향을 계산하세요. |
| 해결 |
| 1. 총 이동 벡터 계산 $\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3 + 5, 4 + 0) = (8, 4)$ 2. 이동 방향의 크기 계산 $|\vec{r}| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8.94$ 3. 이동 방향의 각도 계산 방향 각도 $\theta$ : $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{8}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \approx 26.57^\circ$ |
| 결론 |
| 로봇 팔의 총 이동 방향은 (8, 4) , 크기는 약 8.94, 방향 각도는 약 $26.57°$입니다. |
4. 경제학: 자산 포트폴리오 분석
| 문제 |
| 한 투자자가 주식 A와 B를 각각 40%와 60%로 나누어 투자합니다. 주식 A의 수익률 벡터 $\vec{r}_A = (3, 2)$ , 주식 B의 수익률 벡터 $\vec{r}_B = (1, 4)$ 라 할 때, 포트폴리오의 총 수익률을 계산하세요. |
| 해결 |
| 1. 가중치 적용 각 주식의 가중치를 벡터에 곱합니다. $\vec{r}{A,\text{weighted}} = 0.4 \cdot (3, 2) = (1.2, 0.8)$ $\vec{r}{B,\text{weighted}} = 0.6 \cdot (1, 4) = (0.6, 2.4)$ 2. 총 수익률 벡터 계산 $\vec{r}{\text{portfolio}} = \vec{r}{A,\text{weighted}} + \vec{r}_{B,\text{weighted}} = (1.2 + 0.6, 0.8 + 2.4) = (1.8, 3.2)$ |
| 결론 |
| 포트폴리오의 총 수익률 벡터는 $ (1.8, 3.2) $입니다. |
4. 벡터 연산 공부하는 팁
1. 기본 공식 암기
• 벡터 덧셈, 내적, 외적의 공식을 철저히 익히세요.
2. 그래프를 활용
• 벡터의 기하학적 의미를 이해하기 위해 그래프를 활용하세요.
3. 실생활 문제 연습
• 물리학, 공학 문제를 통해 벡터 연산을 응용해 보세요.
자주 묻는 질문 (FAQs)
1. 벡터의 내적과 외적의 차이는 무엇인가요?
• 내적: 두 벡터의 크기와 방향 간의 관계를 숫자로 나타냅니다.
• 외적: 두 벡터에 수직인 새로운 벡터를 생성합니다(3차원에서만 정의)
2. 벡터 연산은 2차원에서만 가능한가요?
아닙니다. 벡터 연산은 2차원, 3차원뿐만 아니라 $n -$차원에서도 가능합니다.
3. 단위 벡터는 어떻게 구하나요?
단위 벡터는 벡터를 크기로 나눈 값입니다.
$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$
