마그누스 효과(Magnus Effect)는 회전하는 물체가 유체(공기나 물) 속을 이동할 때, 물체 주위의 유체 흐름의 차이로 인해 발생하는 압력 차에 의해 물체가 휘는 현상입니다. 이 효과는 공기역학과 유체역학의 원리를 기반으로 하며, 특히 스포츠(축구, 야구, 테니스)와 항공공학에서 중요한 역할을 합니다.
마그누스 효과 문제 풀이
문제 1: 축구공의 궤적 계산
문제
축구공이 $10 \, \text{m/s}$의 초기 속도로 찬 상황에서 공이 초당 $5 \, \text{rev/s}$의 회전 속도를 가지고 있습니다.
공의 반지름은 $0.11 \, \text{m}$, 공기 밀도는 $1.2 \, \text{kg/m}^3$, 그리고 마그누스 힘의 계수는 $C_M = 0.5$입니다.
마그누스 힘의 크기를 계산하시오.
풀이
1. 마그누스 힘의 공식
$F_M = C_M \cdot \rho \cdot A \cdot v^2 \cdot \omega$
여기서:
• $C_M$: 마그누스 계수
• $\rho$: 공기 밀도
• $A = \pi r^2$: 공의 단면적
• $v$: 공의 속도
• $\omega = 2 \pi f$: 각속도
2. 값 대입 및 계산
공의 단면적: $A = \pi \cdot (0.11)^2 \approx 0.038 \, \text{m}^2$
각속도: $\omega = 2 \pi \cdot 5 = 31.42 \, \text{rad/s}$
마그누스 힘: $F_M = 0.5 \cdot 1.2 \cdot 0.038 \cdot (10)^2 \cdot 31.42$
계산하면: $F_M \approx 71.88 \, \text{N}$
결론
축구공에 작용하는 마그누스 힘은 약 $71.88 \, \text{N}$입니다.
문제 2: 야구공의 휘는 거리 계산
문제
야구공이 $40 \, \text{m/s}$의 속도로 던져졌고, 초당 $30 \, \text{rev/s}$의 회전을 가지고 있습니다.
공기 밀도는 $1.2 \, \text{kg/m}^3$, 공의 반지름은 $0.037 \, \text{m}$, 공의 질량은 $0.145 \, \text{kg}$입니다.
공이 $18.4 \text{m}$를 이동할 동안 휘는 거리를 계산하시오.
풀이
1. 마그누스 가속도 계산
마그누스 가속도는 다음과 같습니다.
$a_M = \frac{F_M}{m}$
마그누스 힘: $F_M = C_M \cdot \rho \cdot A \cdot v^2 \cdot \omega$
각속도: $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 30 = 188.5 \, \text{rad/s}$
단면적: $A = \pi r^2 = \pi \cdot (0.037)^2 \approx 0.0043 \, \text{m}^2$
마그누스 힘 계산: $F_M = 0.5 \cdot 1.2 \cdot 0.0043 \cdot (40)^2 \cdot 188.5 \approx 388.6 \, \text{N}$
마그누스 가속도: $a_M = \frac{388.6}{0.145} \approx 2679 \, \text{m/s}^2$
2. 휘는 거리 계산
수평 이동 거리 $x = 18.4 \, \text{m}$, 초기 속도 $v = 40 \, \text{m/s}$
이동 시간 $t = \frac{x}{v} = \frac{18.4}{40} = 0.46 \, \text{s}$
휘는 거리 $y$: $y = \frac{1}{2} a_M t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2679 \cdot (0.46)^2 \approx 283 \, \text{m}$
결론
야구공은 약 $283 \, \text{m}$ 휘게 됩니다.
문제 3: 테니스 서브의 궤적 변화
문제
테니스 공이 $v = 20 \, \text{m/s}$로 서브되었으며, 초당 $f = 15 \, \text{rev/s}$의 회전을 가집니다.
공의 반지름은 $r = 0.033 \, \text{m}$, 마그누스 계수는 $C_M = 0.4$, 공기 밀도는 $\rho = 1.2 \, \text{kg/m}^3$입니다.
테니스 공에 작용하는 마그누스 힘 $F_M$을 구하고, 운동 궤적에서 발생하는 휘는 거리 $y$를 계산하시오.
풀이
1. 마그누스 힘 계산
마그누스 힘은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
$F_M = C_M \cdot \rho \cdot A \cdot v^2 \cdot \omega$
여기서:
• $A = \pi r^2$: 공의 단면적
• $\omega = 2\pi f$: 각속도
1.1 공의 단면적 계산
$A = \pi r^2 = \pi \cdot (0.033)^2$
$A \approx 3.42 \times 10^{-3} \, \text{m}^2$
1.2 각속도 계산
$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 15$
$\omega \approx 94.25 \, \text{rad/s}$
1.3 마그누스 힘 계산
$F_M = 0.4 \cdot 1.2 \cdot (3.42 \times 10^{-3}) \cdot (20)^2 \cdot 94.25$
먼저 $v^2$ 계산:
$v^2 = (20)^2 = 400$
전체 계산:
$F_M = 0.4 \cdot 1.2 \cdot 3.42 \times 10^{-3} \cdot 400 \cdot 94.25$
$F_M \approx 61.56 \, \text{N}$
결론
테니스 공에 작용하는 마그누스 힘은 $F_M \approx 61.56 \, \text{N}$입니다.
2. 휘는 거리 계산
휘는 거리 $y$는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
$y = \frac{1}{2} a_M t^2$
여기서:
• $a_M = \frac{F_M}{m}$: 마그누스 가속도
• $t = \frac{x}{v}$: 공이 이동하는 시간
• $x = 12 \, \text{m}$: 네트까지의 거리
• 공의 질량 $m = 0.057 \, \text{kg}$: 테니스 공의 표준 질량
2.1 마그누스 가속도 계산
$a_M = \frac{F_M}{m} = \frac{61.56}{0.057}$
$a_M \approx 1080.7 \, \text{m/s}^2$
2.2 공이 이동하는 시간 계산
$t = \frac{x}{v} = \frac{12}{20}$
$t = 0.6 \, \text{s}$
2.3 휘는 거리 계산
$y = \frac{1}{2} a_M t^2 = \frac{1}{2} \cdot 1080.7 \cdot (0.6)^2$
먼저 $t^2$ 계산: $t^2 = (0.6)^2 = 0.36$
전체 계산:
$y = 0.5 \cdot 1080.7 \cdot 0.36$
$y \approx 194.53 \, \text{m}$
결론
테니스 공은 네트를 지나며 약 $194.53 \, \text{m}$ 휘게 됩니다.
풀이 요약
• 마그누스 힘: $61.56 \, \text{N}$
• 휘는 거리: $194.53 \, \text{m}$
