로렌츠 힘 문제 풀이

로렌츠 힘, 전하가 전기장과 자기장 내에서 받는 총력을 이용하여 문제 풀이를 해봅시다.

로렌츠 힘 문제풀이

문제 1: 전하 입자에 작용하는 힘 계산

문제

속도가 $v = 2 \times 10^6 \, \text{m/s}$이고, 전하량이 $q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}$인 전자가 $B = 0.5 \, \text{T}$의 균일한 자기장 내에서 자기장에 수직으로 움직입니다. 전자에 작용하는 로렌츠 힘의 크기를 구하시오.

풀이

1. 로렌츠 힘의 정의
로렌츠 힘의 크기는 다음과 같이 계산됩니다.

$F = qvB \sin\theta$

여기서:
$q$: 전하량
$v$: 전하의 속도
$B$: 자기장의 크기
$\theta$: 전하의 속도와 자기장 사이의 각도

2. 값 대입
문제에서 전자는 자기장에 수직으로 움직이고 있으므로 $\sin\theta = \sin 90^\circ = 1$입니다.

따라서,
$F = qvB$값들을 대입하면

$F = (1.6 \times 10^{-19}) \cdot (2 \times 10^6) \cdot 0.5$

3. 계산
계산을 정리하면: $F = 1.6 \times 10^{-19} \cdot 10^6 = 8.0 \times 10^{-14} \, \text{N}$

결론: 전자에 작용하는 로렌츠 힘의 크기는 $8.0 \times 10^{-14} \, \text{N}$입니다.

문제 2: 자기장에서의 원운동 반지름

문제

속도가 $v = 3 \times 10^5 \, \text{m/s}$, 질량이 $m = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}$, 전하량이 인 전자가 $B = 0.1 \, \text{T}$의 자기장 내에서 원운동을 합니다. 원운동 궤도의 반지름 $r$을 구하시오.

풀이

1. 로렌츠 힘과 원운동
자기장 내에서 전하 입자는 원운동을 하며, 로렌츠 힘은 구심력으로 작용합니다.

$F = qvB = \frac{mv^2}{r}$

이를 반지름 $r$에 대해 정리하면:

$r = \frac{mv}{qB}$

2. 값 대입
주어진 값을 대입합니다.

$r = \frac{(9.11 \times 10^{-31}) \cdot (3 \times 10^5)}{(1.6 \times 10^{-19}) \cdot 0.1}$

3. 계산
분자를 계산하면:$(9.11 \times 10^{-31}) \cdot (3 \times 10^5) = 2.733 \times 10^{-25}$

분모를 계산하면:$(1.6 \times 10^{-19}) \cdot 0.1 = 1.6 \times 10^{-20}$

따라서:
$r = \frac{2.733 \times 10^{-25}}{1.6 \times 10^{-20}} = 1.71 \times 10^{-5} \, \text{m}$

결론: 전자는 반지름 $1.71 \times 10^{-5} \, \text{m}$의 원운동을 합니다.

문제 3: 전하의 운동 방향과 힘 계산

문제

전하량 $q = 2 \, \mu \text{C}$, 속도 $\vec{v} = (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) \, \text{m/s}$, 자기장 $ \vec{B} = (0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 2 \hat{k}) \, \text{T}$일 때, 전하에 작용하는 로렌츠 힘 $\vec{F}$를 벡터로 표현하시오.

풀이

1. 로렌츠 힘의 벡터 식
로렌츠 힘은 벡터의 외적을 사용하여 계산됩니다.

$\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})$

2. 벡터 외적 계산
속도 $\vec{v} = (4 \hat{i} + 3 \hat{j} + 0 \hat{k})$, 자기장 $\vec{B} = (0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 2 \hat{k})$를 외적 계산:

$\vec{v} \times \vec{B} =\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\4 & 3 & 0 \\0 & 0 & 2\end{vmatrix}$

전개하면:
$\vec{v} \times \vec{B} = \hat{i} (3 \cdot 2 - 0 \cdot 0) - \hat{j} (4 \cdot 2 - 0 \cdot 0) + \hat{k} (4 \cdot 0 - 3 \cdot 0)
$$\vec{v} \times \vec{B} = (6 \hat{i} - 8 \hat{j} + 0 \hat{k})$

따라서:
$\vec{v} \times \vec{B} = 6 \hat{i} - 8 \hat{j}$

3. 로렌츠 힘 계산
전하량 $q = 2 \, \mu \text{C} = 2 \times 10^{-6} \, \text{C}$를 곱하면:

$\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}) = (2 \times 10^{-6})(6 \hat{i} - 8 \hat{j})

$ $\vec{F} = (1.2 \times 10^{-5}) \hat{i} - (1.6 \times 10^{-5}) \hat{j}$

결론: $\vec{F} = (1.2 \times 10^{-5}) \hat{i} - (1.6 \times 10^{-5}) \hat{j} \, \text{N}$