등비수열(Geometric Sequence)은 각 항이 일정한 비율로 증가하거나 감소하는 수열입니다. 이는 등차수열과 달리 곱셈과 나눗셈을 기반으로 하며, 수학, 금융, 자연 현상 분석 등 다양한 분야에서 사용됩니다. 이번 포스팅에서는 등비수열의 정의, 일반항 공식, 합 계산법, 실생활 활용 예제를 중심으로 상세히 알아보겠습니다.
등비수열
1. 등비수열이란?
등비수열은 각 항이 이전 항에 일정한 비율(공비, r )을 곱하거나 나누어 생성되는 수열입니다.
수열의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
[a, ar, $ar^2, ar^3, \dots$]
여기서:
• a : 초항(첫 번째 항)
• r : 공비(Common Ratio)
• n : 항의 번호(1, 2, 3, …)
예제
$( 2, 6, 18, 54, \dots)$
• 초항: a = 2
• 공비: r = 3
2. 등비수열의 일반항
등비수열의 n번째 항(일반항)은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
$a_n = a \cdot r^{n-1}$
여기서:
• $a_n$ : n번째 항
• a : 초항
• r : 공비
예제
수열 $( 1, 3, 9, 27, \dots)$에서 5번째 항을 구하세요.
$a_5 = 1 \cdot 3^{5-1} = 1 \cdot 81 = 81$
3. 등비수열의 합
등비수열의 첫 번째 항부터 n번째 항까지의 합은 다음 공식을 사용합니다:
1. 공비 $r \neq 1$
$S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$
2. 공비 r = 1
$S_n = a \cdot n$
여기서:
• $S_n$ : 첫 번째 항부터 n번째 항까지의 합
• a : 초항
• r : 공비
예제
수열 $( 2, 4, 8, 16, \dots)$의 첫 5개의 항의 합을 구하세요.
• 초항: a = 2 , 공비: r = 2 , 항의 개수: n = 5
$S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 2 \cdot \frac{1 - 32}{-1} = 2 \cdot 31 = 62$
4. 등비수열의 실생활 활용
1. 금융과 경제
• 복리 계산: 원금에 이자가 매년 곱해질 때 등비수열로 계산합니다.
• 예: 은행 잔액 = $P \cdot (1 + r)^n $(P: 원금, r: 이율, n: 기간)
2. 물리학
• 물체가 자유 낙하할 때 거리를 등비수열로 계산합니다.
3. 컴퓨터 과학
• 알고리즘의 시간 복잡도나 메모리 사용량 분석에서 등비수열이 사용됩니다.
4. 생물학
• 세포 분열과 같은 지수적 증가 현상을 모델링할 때 활용됩니다.
5. 등비수열 공부하는 팁
1. 일반항과 합 공식을 암기하세요.
• $a_n = a \cdot r^{n-1} , S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$
2. 다양한 공비를 연습해 보세요.
• 공비가 1보다 큰 경우, 0과 1 사이의 경우, 음수인 경우를 모두 연습하세요.
3. 실생활에 적용해 보세요.
• 복리 계산, 성장 모델 등을 직접 계산해 보는 연습을 하세요.
자주 묻는 질문 (FAQs)
1. 공비가 음수인 등비수열도 가능한가요?
네, 가능합니다. 공비가 음수일 경우 수열의 항이 번갈아 양수와 음수로 나타납니다.
예: $( 2, -6, 18, -54, \dots)$ (공비 r = -3 )
2. 공비가 0이면 어떻게 되나요?
공비가 0이면, 두 번째 항부터 모든 항이 0이 됩니다.
예: $( 4, 0, 0, 0, \dots)$
3. 등비수열과 등차수열의 차이는 무엇인가요?
• 등비수열: 각 항의 비율이 일정.
• 등차수열: 각 항의 차이가 일정.
